A szögfelező a szöget két egyenlő szögre osztja. A szögfelező minden pontja azonos távolságra van a szög száraitól és átmegy a szög csúcsán.

A szögfelező szerkesztése körzővel és vonalzóval

A konvex szögtartományban a két szögszártól azonos távolságra lévő pontok egy félegyenest alkotnak. A szögtartományon kívül e félegyenes meghosszabbítását szoktuk a szögfelezőnek tekinteni, de a félegyenesen kívül is vannak pontok, melyek a szögszáraktól, mint félegyenesektől azonos távolságra vannak.

Egyenesek által alkotott szögnél a két egyenestől azonos távolságra lévő pontok két egyenest alkotnak, melyek merőlegesek egymásra.

A szögfelező szerkesztéseSzerkesztés

Egy szög szögfelezőjét meg lehet szerkeszteni körzővel és vonalzóval a következő módon: olyan kört rajzolunk, melynek középpontja a szög csúcsa. A körvonal a szög mindkét szárát elmetszi. Rajzoljunk két azonos sugarú kört, melyeknek a középpontja a két metszéspont. A két kör két metszéspontja meghatározza a szöget felező egyenest.

A háromszög szögfelezőiSzerkesztés

 
A háromszög belső- (piros) és külső (zöld) szögfelezői, beírt köre (kék) és hozzáírt körei (sárga)

Belső szögfelezők és háromszög beírt köreSzerkesztés

A háromszög belső szögfelezői azok az egyenesek, melyek a háromszög belső szögeit elfelezik. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja azonos távolságra van a háromszög két-két oldalegyenesétől, mivel szögfelezők.

A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ezt beláthatjuk a következőképpen: Az   csúcson és a   csúcson átmenő szögfelezők metszéspontja egyenlő távol van a   és   oldalegyenestől (mivel az   csúcson átmenő szögfelező pontja) valamint a   és   oldalegyenesektől is (mivel a   csúcson átmenő szögfelezőnek is pontja). Tehát mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van, így  -tól és  -től is, ezért rajta van a  -n átmenő szögfelezőn.

A belső szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól azonos távolságra van, ezért ez a pont a háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. A kör sugara a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz.

A szögfelezőtétel (Apollóniosz tétele)Szerkesztés

 
Ábra a szögfelezőtétel bizonyításához

A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, vagyis  .

Bizonyítás:

Meghosszabbítjuk a háromszög   oldalát  -n túl  -val, így kapjuk meg  -t.   egyenlő szárú háromszög, ennek a   csúcsnál lévő külső szöge  , az alapon fekvő szögei   nagyságúak. Az   háromszög   oldala és a szögfelező által bezárt szög egyállású a   háromszög   csúcsnál levő szögével, mivel a két szög azonos nagyságú és az egyik száruk egy egyenesbe esik. Ezért a szögek másik szára – a szögfelező és a   oldal – is párhuzamosak egymással. Az   csúcsnál lévő szögre a párhuzamos szelők tételét alkalmazva kapjuk az   egyenlőséget.

Külső szögfelezők és a háromszög hozzáírt köreiSzerkesztés

A háromszög külső szögeit megfelezve a külső szögfelezőket kapjuk. A szögfelező minden pontja egyenlő távol van a háromszög két oldalegyenesétől. Két-két szögfelező egy pontban metszi egymást. A metszéspont a hozzáírható kör középpontja, mivel mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van.

A háromszög egy csúcsból húzott belső és külső szögfelezője merőleges egymásra.

ForrásokSzerkesztés

  • Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 185, 206, 359. oldal.
  • Matematikai kisenciklopédia. Szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal.