Szerkesztő:05storm26/Lambert féle W függvény

A W(x) grafikonja W > −4 és z < 6-ra. A felső rész: W ≥ −1 a W0 függvény, az alsó rész: W ≤ −1 a W−1 függvény.

A matematikában a Lambert-féle W függvény, másnéven az omega függvény vagy a logaritmus-szorzat függvény, egy függvény amely az inverze a z = f(W) = WeW függvénynek, ahol eW az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:

ahol z egy komplex szám.

Mivel az ƒ függvény nem injektív így W többértékű (kivéve 0-ban). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a −1/e-nél nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a ]−1/e-;0[ intervallumon. A W ≥ −1 kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk amit W0(x)-vel jelölnek. Adott hogy W0(0)=0 és W0(-1/e)=-1. A függvény "alsó részét" ami kielégíti a W ≤ −1 egyenlőtlenséget W−1(x)-el jelölik. Ez a függvény csökken, W−1(−1/e) = −1-től, W−1(0) = −∞ -ig.

A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel.[1] A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szinten megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint pl.: y'(t) = a y(t − 1).

JelölésekSzerkesztés

 
A függvény két fő része a   és a  

A Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" W0 -et Wp-ként jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a W−1 -t pedig Wm-el jelölik ugyanitt.

Az itt alkalmazott jelölések (a W0 és a W−1) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.[2]

TörténeSzerkesztés

Lambert Lambert's Transcendental Equation 1758-ös műve[3] vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához[4] amiben a wew-t vizsgálta. Az első említése a wew inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik.[5] A Lambert-féle W függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikaiduplapotenciálgödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sorkszor felbukkan a természetben.[2][6]

AnalízisSzerkesztés

DeriváltSzerkesztés

Implicit deriválással, bizonyítható, hogy a különböző részei(alsó, felső) W-nak kielégítik a következő differenciálegyenletet:

 

(W nem differenciálható a z = −1/e pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:

 

Továbbá:

 

Primitív függvénySzerkesztés

A W(x) függvény, és egyéb kifejezések amelyek tartalmazzák W(x)-t, integrálhatóak, a w = W(x) helyettesítéssel, x = w ew:

 

Aminek a következménye (felhasználva, hogy  ):

 

SorfejtésSzerkesztés

A   Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:

 

A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomof függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.

Nagy x értékekre, W0 asszimptótikusan egyenlő:

 
 

ahol,   és   a nemnegatív Stirling szám.[7] Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:

 

A másik valós rész a,  , a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát:   and  .

Egész és komplex hatványa a függvénynekSzerkesztés

Egész hatványai a   függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a   pont körül:

 

Általánosabban,  -re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:

 

vagyis, a Laurent sor mértéke r.

Iletve:

 

ami igaz bármely  -re és  -re.

Nevezetes értékekSzerkesztés

Bármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzét: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass tétel, alapján eW(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)eW(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak hogy x algebrai.

 

 

 

 

  (az Omega konstans)

 

 

 

Egyéb formulákSzerkesztés

Számos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:

 
 
 

A második azonosság levezethető a

 

helyettesítéssel ami így a következőket adja:

 
 

Vagyis:

 
 
 
 
  (helyettesítve  -t)
 
 
 
 

A harmadik azonosság levezethető a másodikból a   helyettesítéssel.

AlkalmazásokSzerkesztés

Sok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = XeX alakja legyen, ahonnan a W függvény megadja X értékeit.

Vagyis:

 

PéldákSzerkesztés

1. példaSzerkesztés

 

Általánosságban a

 

egyenlet, ahol

 

átalakítható a következő helyettesítéssel:

 

A helyettesítés után:

 

ami, a következő megoldásokat adja:

 

vagyis a végső megoldás:

 

2. példaSzerkesztés

 
 
 
 
 

vagyis,

 

mert

 

a definíció szerint.

3. példaSzerkesztés

Amikor egy komplex végtelen tetráció

 

konvergál, a W függvény megadja a határértéket:

 

ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:

 

ha c létezik, vagyis

 
 
 
 
 
 
 
 
 

ami az elvárt eredmény.

4. példaSzerkesztés

A

 

megoldásai

 

alakúak.[6]

5. példaSzerkesztés

Az áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lást dióda modellezés.

6. példaSzerkesztés

A

 

differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete  , ami   -hoz vezet és  -hoz. Ha , csak   -t kell figyelembe venni.

ÁltalánosításSzerkesztés

A hagyományos W függvény megadja a pontos megoldásait a transzcentens algbrai egyenleteknek amik a következő formályúak vagy ilyen formára hozhatóak:

 

ahol a0, c ér r valós konstansok. A megoldás  . A Lambert-féle W függvény általánosításai[8] tartalmazzák a következőket:

 
and where r1 and r2 are real distinct constants, the roots of the quadratic polynomial. Here, the solution is a function has a single argument x but the terms like ri and ao are parameters of that function. In this respect, the generalization resembles the hypergeometric function and the Meijer G-function but it belongs to a different class of functions. When r1 = r2, both sides of (2) can be factored and reduced to (1) and thus the solution reduces to that of the standard W function. Eq. (2) expresses the equation governing the dilaton field, from which is derived the metric of the R=T or lineal two-body gravity problem in 1+1 dimensions (one spatial dimension and one time dimension) for the case of unequal (rest) masses, as well as, the eigenenergies of the quantum-mechanical double-well Dirac delta function model for unequal charges in one dimension.
  • Analytical solutions of the eigenenergies of a special case of the quantum mechanical three-body problem, namely the (three-dimensional) hydrogen molecule-ion.[10] Here the right-hand-side of (1) (or (2)) is now a ratio of infinite order polynomials in x:
 
where ri and si are distinct real constants and x is a function of the eigenenergy and the internuclear distance R. Eq. (3) with its specialized cases expressed in (1) and (2) is related to a large class of delay differential equations.

Applications of the Lambert "W" function in fundamental physical problems are not exhausted even for the standard case expressed in (1) as seen recently in the area of atomic, molecular, and optical physics.[11]

GrafikonSzerkesztés

Közelítő eljárások a kiszámításáraSzerkesztés

A W függvény közelíthető Newton módszerrel, egymást követő közelítésekkel   (vagyis  ):

 

A W függvény szintén közelíthető Halley módszerrel,

 

JegyzetekSzerkesztés

  1. Chow, Timothy Y. (1999), "What is a closed-form number?", American Mathematical Monthly 106 (5): 440–448, DOI 10.2307/2589148.
  2. a b (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics 5, 329–359. o. DOI:10.1007/BF02124750.  
  3. Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, Band III, 128–168, 1758 (facsimile)
  4. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
  5. Aufgaben und Lehrsätze der Analysis. Berlin: Springer-Verlag [1925] (1998) 
  6. a b Corless, R. M. (1993). „Lambert's W function in Maple”. The Maple Technical Newsletter 9, 12–22. o, Kiadó: MapleTech.  
  7. Approximation of the Lambert W function and the hyperpower function, Hoorfar, Abdolhossein; Hassani, Mehdi.
  8. Scott, T. C. (2013). „Asymptotic series of Generalized Lambert W Function”. SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185), 75–83. o.  
  9. Farrugia, P. S. (2007). „N-body Gravity and the Schrödinger Equation”. Class. Quantum Grav. 24 (18), 4647–4659. o. DOI:10.1088/0264-9381/24/18/006.  
  10. Scott, T. C. (2006). „New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion”. Chem. Phys. 324 (2–3), 323–338. o. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.10.031.  
  11. Scott, T. C. (2007). „The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions”. Phys. Rev. A 75 (6), 060101. o. DOI:10.1103/PhysRevA.75.060101.  

ForrásSzerkesztés

Külső linkekSzerkesztés