Szerkesztő:Kristofcserpes/próbalap
A Z-transzformáció a matematikában és a jelfeldogozásban használt eszköz, ami egy számsorozatot (valós vagy komplex) a hozzátartozó frekvenciatartományhoz képez le.
A Z-transzformáció fontos szerepet játszik a az irányítás és szabályozástechnikában, főként digitális szűrök tervezésében.
A Z-transzformációt gyakran tekintik a Laplace-transzformáció diszkrét idejű megfelelőjeként.
Definíció szerkesztés
A Z-transzformáció egy diszkrét függvényeteken elvégezhető transzformáció. A Z-transzformáció lehet egyoldali vagy kétoldali.
Kétoldali Z-transzformáció szerkesztés
Legyen egy diszkrét függvény, ahol egy egész számot jelöl. A függvény Z-transzformáltja a következő Laurent-sor:
.
A változó egy komplex szám, ahol modulusa és pedig szöge.
Egyoldali Z-transzformáció szerkesztés
A Z-transzformáció definiálható egy hatványsorként is
.
A jelfeldolgozás területén az egyoldali Z-transzformáció a kauzális jeleknél játszik fontos szerepet.
Konvergenciasugár szerkesztés
Konvergenciasugárnak (gyakran ROC, angolul ´region of convergence´) nevezzük azoknak a pontoknak halmazát, ahol a Z-transzformált definíciójában levő sor konvergens.
Az abszolút értékek tulajdonságait kihasználva felállítható az alábbi egyenlőtlenség:
Ebből következik, hogy konvergenciasugár nem csak a transzformálandó függvénytől hanem modulusától -től is if függ.
továbbá felbontható egy pozitív és negatív részre:
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle X(z) = \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}}_\text{} }
A transzformálandó függ Egy Z-transzformált eredeti függvénye csak akkor egyértelmű, ha konvergenciasugár meg van adva. Ezt a tulajdonságot illusztrálni be lehet mutatni két különböző függvénnyel és melyeknek megegyezik a Z-transzformáltja, viszont a konvergenciasugaruk különbözik. Mindkét esetben a végtelen a Z-transzformált a mértani sor összegképletével lett kiszámítva. Fontos megjegyezni, hogy a képlet csak akkor alkalmazható, ha a hányados abszolút értéke kisebb, mit 1.
Legyen az első függvény egy exponenciálisan növekedő kauzális függvény:
(H[n] a Heaviside-függvényt jelöli).
Z-transzformált a következő:
A Z-transzformált, csak akkor létezik ha . Ebből következik, hogy Konvergenciasugara:
Átviteli függvény szerkesztés
Lineáris differenciaegyenletek konstans együtthatókkal egy hasznos eszköz diszkrét-LTI-rendszerek leírására.
Tulajdonságok szerkesztés
Legyen egy függvény az időtartományban és a Z-transzformált. A
Tulajdonság | Időtartomány | Z-Transformált | Konvergencia terület | Megjegyzés |
---|---|---|---|---|
Linearitás | ||||
Késés | . ha . ha | és | ||
Sietés | Kétoldali: . Egyoldali: | . ha . ha | és | |
Inverzió | . ha . ha |
Kapcsolata a Fourier-transzformációval szerkesztés
Ha a változót -re korlátozzuk (tehát abszolút értéke mindig 1), akkor megkapjuk Fourier-transzformáltját.
Fourier-transzformált csak akkor létezik, ha abszolút összeadható (azaz ). Ez azt jelenti, hogy sok függvénycsoportnak nincsen Fourier-transzformáltja (exponenciálisan növekvő függvényeknél).
A modulus bevezetésével kiterjeszthető transzformációt kapjuk.
Ha és , akkor "tompítva" lesz, ezért a Z-transzformáció nagyobb függvénycsoportokra alkalmazható, mint a Fourier-transzformáció.
Kapcsolata a Laplace-transzformációval szerkesztés
Legyen egy folytonos függvény. Ha -ből időközönként mintát veszünk, akkor egy diszkrét függvényt nyerünk. A függvény diszkrét egy Dirac-delta függvénysorozat segítségével történik meg:
Laplace-transzformáltja az alábbi:
Laplace-transzformáltja összehasonlítható z-transzformáltjával:
Ebből következik egy egyenlőség állítható fel a Z-Transzformált és a Laplace-transzformált között:
Tehát a kapcsolat a z-sík és az s-sík között a következő:
Továbbá a változó felbontható egy valós és komplex részre.
Így egy egyenlőség felállítható komponensei (geometriai modellben megadva) és komponensei (halmazelméleti modellben megadva) között:
Bilineáris transzformáció szerkesztés
Ha egy lineáris Z-Átviteli függvénybe a szubsztitúciót használjuk, akkor az a probléma lép fel, hogy a keletkező S-átviteli függvény nem lesz lineáris. Bilineáris transzformáció úgy oldja meg ezt a problémát, hogy a kifejezést egy alternatív formában reprezentálja:
.
Ezt az alternatív formát pedig kifejti egy Taylor-sorrá:
.
A sor első két tagja lineáris közelítése egy lineáris közelítés, ami egyben bilineáris transzformáció definíciója:
A fordított bilineáris transzformációt, akkor kapjuk meg, ha felső képlet -re megoldjuk:
Példa szerkesztés
Legyen egy alul áteresztő szűrő S-átviteli függvénye:
A bilineáris transzformációval létrehozott Z-átviteli függvény az alábbi
Definíció szerkesztés
Legyen négyzetes mátrix, aminek az elemei egy test része. karakterisztikus polinomjának a definíciója:
.
Karakterisztikus mátrix szerkesztés
A kifejezést karakterisztikus mátrixnak nevezik:
Karakterisztikus egyenlet szerkesztés
Az egyenlet karakterisztikus egyenletnet nevezik. Az egyenlet megoldása, azaz a karakterisztikus polinomjának gyökei, sajátértékei . A karakterisztikus polinom ezért kifejezhető mint:
ahol a sajátérték algebrai multiplicitása.
Tulajdonságok szerkesztés
- Egy mátrix karakterisztikus polinomja foka .
- Karakterisztikus polinom főegyütthatója 1.
- Ha két mátrix és hasonló, akkor a karakterisztikus polinomok és azonosak.
- Egy mátrixnak és annak a transzponáltjának azonosak karakterisztikus polinomjai.
Speciális mátrixok szerkesztés
mátrix szerkesztés
Ha egy mátrix akkor karakterisztikus polinomja