Szerkesztő:Tombenko/Függvénytranszformáció

Függvénytranszformációnak nevezünk egy eljárást, aminek révén egy függvényből egy másik függvényt kaphatunk meg. Ennek egyik célja, hogy függvénytani problémákat egyszerűbben tudjunk kezelni.

Definíció

Legyen A és B halmaz. Ekkor megadható az $A\mapsto B$ függvények ${\mathcal {F}}$ osztálya. Függvénytranszformációnak nevezzük az ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}$ függvényeket.

Tehát a függvénytranszformáció egy függvényből egy másik, de az eredetivel azonos alap és képhalmazú függvényt hoz létre. Ilyen módon a függvénytranszformációk maguk is függvények. A megkülönböztetés szükségessége esetén sokszor operátoroknak nevezzük a transzformációs függvényeket.

A függvénytranszformációkat hagyományosan szorzótényezőként kezeljük, mivel a függvények rendszerint vektorteret alkotnak, ilyen módon tehát leképzésnek is tekinthetjük őket.

Példák

• A differenciáloperátor egy kompakt halmazon folytonos függvények halmazán hat:

$\mathop {D_{x}} f(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

• A függvények eltolása a tengelyek mentén szintén transzformáció:

$\mathop {T_{a,b}} f(x)=f(x+a)+b$

• A függvények nyújtása is transzformáció:

$\mathop {L_{\alpha ,\beta }} f(x)=\alpha f(\beta x)$

A függvénytranszformációk tulajdonságai

Linearitás

Egy ${\mathfrak {T}}$ transzformációt lineárisnak nevezünk, ha tetszőleges $f,g\in {\mathcal {F}},\,\alpha ,\beta \in {B}$ esetén:

${\mathfrak {T}}(\alpha \cdot {f}+\beta \cdot {g})=\alpha {\mathfrak {T}}f+\beta {\mathfrak {T}}g$

Sajátfüggvény

Egy $f$ függvényt a ${\mathfrak {T}}$ transzformáció sajátfüggvényének nevezzük, ha van olyan $\lambda$ skalár, hogy

${\mathfrak {T}}f=\lambda \cdot f$

Sajátfüggvény nem minden esetben létezik. Ha létezik, akkor ez a transzformációt jellemzi, illetve egyes problémák megoldásában nagyban segíthet. Például a deriváltoperátor sajátfüggvénye az exponenciális függvény, és, mivel lineáris operátor is, ennek köszönhetően ha egy függvényt exponenciális függvények összegeként fel rudunk írni, akkor a deriválás illetve integrálás lényegesen egyszerűsödik. Ezt a Fourier-transzformáció során használjuk ki.

Példa

Keressük meg a differenciáloperátor sajátfüggvényét! Ha felírjuk a definíciót, egy differenciálegyenletet kapunk:

$\mathop {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}} f(x)=\lambda f(x)$

${\frac {1}{f(x)}}\mathop {{\text{d}}f(x)} =\lambda \mathop {{\text{d}}x}$

$\ln(f(x))=\lambda x$

$f(x)=e^{\lambda x}$

Hogy a kapott függvény tényleg sajátérték, arról egyszerűen deriválással győződhetünk meg.

Lásd még

Függvény (matematika)