Főmenü megnyitása

Függvénytranszformációnak nevezünk egy eljárást, aminek révén egy függvényből egy másik függvényt kaphatunk meg. Ennek egyik célja, hogy függvénytani problémákat egyszerűbben tudjunk kezelni.

DefinícióSzerkesztés

Legyen A és B halmaz. Ekkor megadható az   függvények   osztálya. Függvénytranszformációnak nevezzük az   függvényeket.

Tehát a függvénytranszformáció egy függvényből egy másik, de az eredetivel azonos alap és képhalmazú függvényt hoz létre.[1] Ilyen módon a függvénytranszformációk maguk is függvények. A megkülönböztetés szükségessége esetén sokszor operátoroknak nevezzük a transzformációs függvényeket.

A függvénytranszformációkat hagyományosan szorzótényezőként kezeljük, mivel a függvények rendszerint vektorteret alkotnak, ilyen módon tehát leképzésnek is tekinthetjük őket.

PéldákSzerkesztés

  • A differenciáloperátor egy kompakt halmazon folytonos függvények halmazán hat:
 
  • A függvények eltolása a tengelyek mentén szintén transzformáció:[2]
 
  • A függvények nyújtása is transzformáció:
 

A függvénytranszformációk tulajdonságaiSzerkesztés

LinearitásSzerkesztés

Egy   transzformációt lineárisnak nevezünk, ha tetszőleges   esetén:

 

SajátfüggvénySzerkesztés

Egy   függvényt a   transzformáció sajátfüggvényének nevezzük, ha van olyan   skalár, hogy

 

Sajátfüggvény nem minden esetben létezik. Ha létezik, akkor ez a transzformációt jellemzi, illetve egyes problémák megoldásában nagyban segíthet. Például a deriváltoperátor sajátfüggvénye az exponenciális függvény, és, mivel lineáris operátor is, ennek köszönhetően ha egy függvényt exponenciális függvények összegeként fel rudunk írni, akkor a deriválás illetve integrálás lényegesen egyszerűsödik. Ezt a Fourier-transzformáció során használjuk ki.

PéldaSzerkesztés

Keressük meg a differenciáloperátor sajátfüggvényét! Ha felírjuk a definíciót, egy differenciálegyenletet kapunk:

 
 
 
 

Hogy a kapott függvény tényleg sajátérték, arról egyszerűen deriválással győződhetünk meg.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Ez persze nem zárja ki, hogy az új függvény értelmezési tartománya vagy értékkészlete az eredetiének részhalmaza legyen.
  2. Az általános és középiskolában erre és a nyújtásra szokták leszűkíteni a függvénytranszformációk fogalmát.

ForrásokSzerkesztés

Lásd mégSzerkesztés