A matematikában a szorzatszabály alkalmazásával két, vagy több függvény szorzatának a deriváltját lehet kiszámítani.

Egy lehetséges jelöléssel:

vagy a Leibniz-féle jelöléssel:

.

továbbá:

.

A három függvény szorzatának deriváltja:

.

Leibniz felfedezéseSzerkesztés

A szorzatszabály felfedezését Gottfried Wilhelm Leibniznek tulajdonítják, bár Child (2008) szerint Isaac Barrow nevéhez fűződik a felfedezés. Leibniz érvelése: Legyen u(x) és v(x) x két differenciálható függvénye. Ekkor uv differenciálja:

 

Mivel dudv kifejezések (du-hoz és dv-hez képest) „elhanyagolhatók”, Leibniz arra a megállapításra jutott, hogy:

 

és ez valóban a szorzatszabály differenciál alakja. Ha végig osztunk dx-szel, kapjuk:

 

mely ilyen alakba is írható:

 

PéldákSzerkesztés

  • Tegyük fel, hogy differenciálni akarjuk a ƒ(x) = x² sin(x) függvényt. A szorzatszabályt alkalmazva kapjuk:

ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (mivel x² deriváltja: 2x, és sin(x) deriváltja: cos(x)).

  • Speciális eset az úgynevezett „konstans szorzási szabály”, mely azt állítja: ha van egy c valós számunk, és egy ƒ(x) differenciálható függvény, akkor (x) is differenciálható, és a derivált: (c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x). Ez a szorzatszabályból következik, mivel egy konstans deriváltja zéró. Ezt kombinálva a deriváltak szumma-szabályával, mutatja, hogy a differenciálás lineáris.
  • A részenkénti integrálás szabálya levezethető a szorzatszabályból, mivel ez a hányadosszabály (annak gyenge változata). Azért „gyenge” változat, mert nem igazolja, hogy a hányados differenciálható, csak azt mondja, egy van egy deriváltja, ha az differenciálható.

Általános hibaSzerkesztés

Egy általánosan előforduló hiba, ha feltételezzük, hogy (uv) deriváltja egyenlő (u ′)(v ′).

Kezdetben, Leibniz maga is elkövette ezt a hibát[1] annak ellenére, hogy világos ellenpéldák léteznek.

Tekintsük ƒ(x) függvényt, melynek deriváltja: ƒ '(x). Ezt úgy is felírhatjuk, hogy ƒ(x) • 1, mivel az 1 neutrális elem a szorzást tekintve.

Ha fenti téves koncepció igaz lenne, akkor (u′)(v′) zérus lenne. Ez azért igaz, mert egy konstans deriváltja mindig zéró, és így a szorzat is zéró lenne.

A szorzat-szabály bizonyításaSzerkesztés

Egy precíz bizonyítás adható a deriváltak 'Newton-féle differenciahányados határérték elméletére alapozva.

Ha

 

és ƒ és g differenciálható egy fix x számnál, akkor

 

Ekkor a különbség

 

azaz a nagy téglalap területe mínusz a kis téglalap területe (a lenti ábra szerint).

 
Szorzatszabály bizonyítása

A nagy és a kis téglalap közötti terület kettő téglalapra osztható, ennek a területnek a szummája[2]

 

mert:

 


 


 


 

Ezért az (1)-es kifejezés egyenlő:

 

Feltéve, hogy az összes használt határérték létezik, (4) egyenlő:

 

és most

 

ez igaz, mert f(x) konstans marad, ha  w → x

 

Ez igaz, mert a differenciálható függvény folytonos (g-ről feltételezve, hogy differenciálható), tehát:

     and     

mert f és g',' x-nél differenciálható; Ennek következtében az (5) kifejezés egyenlő:

 

ÁltalánosításSzerkesztés

Több mint két tényező szorzataSzerkesztés

A szorzat-szabályt általánosítani lehet több, mint két tényezőre. Például három tényezőre:

 .

  függvényekre:

 

Magasabb fokú deriváltakSzerkesztés

A Leibniz-szabály szerint általánosítható a két tényezős szorzat-szabály n-edik deriváltjára:

 

Magasabb fokú parciális deriváltakSzerkesztés

Parciális deriváltakra:

 

ahol az S index végig fut a {1, ..., n}, 2n alhalmazán. Ha például n=3, akkor:

 

AlkalmazásokSzerkesztés

A szorzat-szabály alkalmazásai között egy bizonyíték:

 

ahol n pozitív egész. (A szabály akkor is érvényes, ha n nem pozitív, vagy nem egész, de akkor a bizonyítás más módszerrel történik). A teljes indukció bizonyítása n-edik kitevőre. Ha n = 0, akkor xn konstans, és nxn – 1 = 0. A szabály bármely n kitevőre érvényes, és így a következő n + 1-re is:

 

Ha a tétel igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz.

Tangenstér definíciójaSzerkesztés

A szorzat-szabály felhasználható az absztrakt tangenstér definiálásra is. Az a tényt használható itt, hogy egy geometria alakzat p pontján definiálni lehet valós értékű függvények deriváltjait a szorzat-szabállyal, és minden ilyen deriválás lineáris teret (vektor tér) alkot, mely a kívánt tangenstér.

IrodalomSzerkesztés

  • Freud Róbert: Lineáris algebra. (hely nélkül): ELTE Eötvös Kiadó. 2004.  
  • Fried Ervin: 'Algebra I., Elemi és lineáris algebra'év=2000. (hely nélkül): Nemzeti Tankönyvkiadó.  
  • Kuros, A. G: Felsőbb algebra. (hely nélkül): Tankönyvkiadó, Bp. 1975.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Michelle Cirillo (2007. August). „Humanizing Calculus”. The Mathematics Teacher 101 (1), 23–27. o. [2012. július 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés ideje: 2012. március 7.)  
  2. The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – ƒ(w) need not be greater than ƒ(x) and g(w) need not be greater than g(x). Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra.