A szupertér a kvantumtérelméletben a Minkowski-tér további kiterjesztése egy vagy több további dimenzióval, koordinátával. Az új koordináták azonban nem a megszokott valós számok köréből kerülnek ki, mint a négyestér esetén, hanem antikommutáló, ún. Grassmann-szám komponensű spinorok. Ezen a kiterjesztett téren értelmezzük a szuperszimmetriát. A legegyszerűbb szupertér , ahol x a Minkowski-tér, és Grassmann-spinorok.

Grassmann-spinorokSzerkesztés

A Grassmann-spinor egy kétkomponensű Dirac-spinor, ahol azonban a komponensek komplex számok helyett antikommutáló Grassmann-számok. A Minkowski-tér vagy négyestér kiterjesztése spinorváltozókkal megőrzi a Lorentz-csoporttal ill. az eltolásokat is belevéve a Poincaré-csoporttal szembeni szimmetriát. A Lorentz-csoport – ami ekvivalens egy SU(2)×SU(2) csoporttal – spinorjainak megfelelően kétféle Grassmann-spinor van, amit a "normál" és "konjugált" (helyesen adjungált) spinorok helyett ezek lineáris kombinációinak, a   "balkezes" és a   "jobbkezes" spinoroknak szokás választani. A négyesskalárok két pontozatlan vagy két pontozott spinor indexösszeejtésével ("konvolúciójával") képezhetjük. A szokásos rövidített jelölést is megadva:

 

ahol számít, hogy az első vagy a második index van lent, mert egy csere a két komponens felcserélését jelenti, ami, mivel antikommutáló számokról van szó, előjelváltást jelent, azaz:

 

Az index lehúzás és felhúzás a Levi-Civita-szimbólummal végezhető:

 

A négyesspinorok általános tulajdonságainak megfelelően a   szorzat úgy transzformálódik, mint egy Lorentz-vektor.

SzupereltolásSzerkesztés

Az   szupertérben a szupertranszformációt a következőképpen vezethetjük be:

 
 

Ez a négyestérbeli eltolásokat általánosítja a szupertérre.

Királis és antikirális szupertérSzerkesztés

A szuperteret lehetséges úgy parametrizálni, hogy explicit módon ne tartalmazza  -t –   királis szupertér – vagy  -t –   antikirális szupertér, ahol:

 
 

Ezekkel a definíciókkal a szupertranszformáció a megfelelő szupertéren belül marad, azaz:

 
 

esetén:

 
 

További információkSzerkesztés