A számelmélet területén egy szupertökéletes szám olyan pozitív egész n szám, amire igaz a következő:

ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli. A szupertökéletes számok a tökéletes számok fogalmának általánosítása. A kifejezést Suryanarayana alkotta 1969-ben.[1]

Az első néhány szupertökéletes szám:

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, ... (A019279 sorozat az OEIS-ben).

Ha n páros szupertökéletes szám, akkor n szükségképpen kettőhatvány, 2k, méghozzá úgy, hogy 2k+1−1 Mersenne-prím.[1][2]

Nem tudni, léteznek-e a páratlan szupertökéletes számok. Egy páratlan szupertökéletes n-nek olyan négyzetszámnak kellene lennie, amire n vagy σ(n) legalább három különböző prímszámmal osztható.[2] Biztosan nincsenek páratlan szupertökéletes számok 7·1024 alatt.[1]

ÁltalánosításokSzerkesztés

A tökéletes és a szupertökéletes számok a tágabb értelemben vett m-szupertökéletes számok alesetei, melyek kielégítik a

 

egyenletet m=1-re, illetve 2-re. Az m ≥ 3 esetre nem léteznek páros m-szupertökéletes számok.[1]

Az m-szupertökéletes számok továbbá alesetei az (m,k)-tökéletes számoknak, melyek a[3]

 

egyenletet elégítik ki. Ezt a jelölési módot használva a tökéletes számok (1,2)-tökéletesek, a többszörösen tökéletes számok (1,k)-tökéletesek, a szupertökéletes számok (2,2)-tökéletesek és az m-szupertökéletes számok (m,2)-tökéletesek.[4] Példák különböző (m,k)-tökéletes számokra:

m k (m,k)-tökéletes számok OEIS sorozat
2 2 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 A019279
2 3 8, 21, 512 A019281
2 4 15, 1023, 29127 A019282
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 A019283
2 7 24, 1536, 47360, 343976 A019284
2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 A019285
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 A019286
2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 A019287
2 11 4404480, 57669920, 238608384 A019288
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 A019289
3 bármennyi 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ... A019292
4 bármennyi 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ... A019293

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b c d Guy (2004) p.99
  2. a b Weisstein, Eric W.: Superperfect Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  3. Cohen & te Riele (1996)
  4. Guy (2007) p.79

IrodalomSzerkesztés