Főmenü megnyitása

A Teichmüller–Tukey-lemma a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy ha T véges jellegű tulajdonság, akkor tetszőleges halmaz T tulajdonságú halmazai között van maximális. Itt véges jellegű tulajdonságon azt értjük, hogy az adott tulajdonság akkor és csak akkor teljesül egy halmazra, ha annak minden véges részhalmazára teljesül.

LemmaSzerkesztés

Legyen   egy tetszőleges halmaz valamely részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire teljesül, hogy   pontosan akkor, ha   minden véges részhalmaza eleme  -nak. Ekkor minden   esetén van maximális   elem.

BizonyításSzerkesztés

Az állítást a Zorn-lemma felhasználásával fogjuk bizonyítani. Vegyük a   részbenrendezett halmazt, ahol   az  -t (részhalmazként) tartalmazó  -beli halmazokból áll. Ez nemüres, mert például   eleme. Azt kell belátnunk, hogy minden  -beli   láncnak van felső korlátja. Legyen tehát   lánc. Vegyük az összes  -beli halmaz   egyesítését. Elég belátnunk, hogy  , hiszen nyilvánvalóan tartalmazza   minden elemét.   végességi tulajdonsága miatt elég látni, hogy   minden véges része  -beli. Legyen tehát  .   definíciója miatt vannak    -beli halmazok, hogy  . Mivel   lánc, ezek valamelyike, mondjuk   tartalmazza a többit. De ekkor  , azaz véges részhalmaza egy  -beli halmaznak, tehát   végességi tulajdonsága miatt maga is  -beli.

AlkalmazásaiSzerkesztés

A Teichmüller–Tukey-lemmát akkor a legcélszerűbb alkalmazni, amikor egy könnyen láthatóan véges jellegű tulajdonságot vizsgálunk. Így azonnal kapjuk, hogy minden vektortérben van bázis (maximális független vektorhalmaz), minden gráfnak van feszítő erdője, minden testben van transzcendencia-bázis (maximális algebrailag független részhalmaz), illetve hasonló egyszerű következményként adódik a Hausdorff–Birkhoff-tétel is.

Ekvivalens állításokSzerkesztés

A Teichmüller–Tukey-lemma ekvivalens a következő állításokkal:

TörténeteSzerkesztés

Ezt a tételt először Teichmüller publikálta.

HivatkozásokSzerkesztés

  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983.
  • Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Teichmüller, O.: Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom?, Deutsche Math. 4. 1939
  • Tukey, J. W.: Convergence and uniformity in topology, Annals of Math. Studies, 1940