Főmenü megnyitása

Tranzitív reláció

A szaggatott nyíl behúzása szükséges a tranzitivitás eléréséhez

Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk tranzitívnak, ha az elempárok azon tulajdonsága, hogy egymással relációban állnak, „láncszerűen” tovább adódik, mint például a testmagasság esetében a „magasabbnak lenni” relációnál: ha én magasabb vagyok az apámnál, az apám pedig magasabb az anyámnál, akkor én magasabb vagyok az anyámnál.

DefinícióSzerkesztés

Az   halmazon értelmezett   reláció tranzitív, ha bármely   esetén valahányszor   és   egyszerre teljesül, mindannyiszor   is teljesül.

Halmazelméletileg ez azt jelenti, hogy a reláció négyzete (önmagával való szorzata, kompozíciója) része önmagának  .

PéldákSzerkesztés

  • az egyenesek párhuzamossága (mert ha az   egyenes párhuzamos az   egyenessel, az   egyenes pedig párhuzamos a   egyenessel, akkor az   egyenes szükségszerűen párhuzamos a   egyenessel is),
  • a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert ha az   osztható  -vel és   osztható  -vel, akkor   szükségszerűen osztható  -vel is),
  • a halmazok között a tartalmazási reláció (mert ha az   halmaz tartalmazza a   halmazt, a   halmaz pedig tartalmazza a   halmazt, akkor az   halmaz mindenképpen tartalmazza a   halmazt is),
  • az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert ha egy személy fölmenő rokona egy másiknak, ez a másik pedig fölmenő rokona egy harmadiknak, akkor az első szükségszerűen fölmenő rokona a harmadiknak is).

EllenpéldákSzerkesztés

  • az egyenesek merőlegessége (mert attól, hogy az   egyenes merőleges az   egyenesre, az   egyenes pedig merőleges a   egyenesre, az   egyenes nem lesz merőleges a   egyenesre),
  • a pozitív egész számok között a relatív prímek reláció (mert ha   és   relatív prímek és   és   is relatív prímek, attól   és   még nem feltétlenül relatív prímek egymással, például   esetén sem)
  • a halmazok között a diszjunktság reláció (mert attól, hogy az   és a   halmaznak nincs közös eleme, valamint a   és a   halmaznak sincs közös eleme még nem biztos, hogy   és   halmaznak sincs közös eleme),
  • az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert ha egy ember ismer egy másikat, s ez a másik ismer egy harmadikat, attól az első még nem fogja szükségképpen ismerni a harmadikat).

További példák tranzitív relációkraSzerkesztés

További információkSzerkesztés