Főmenü megnyitása

A várható értéket a matematikai statisztikában használjuk. Feladata a mért értékek populációjának jellemzését egyetlen, azt jól közelítő értékkel leírni. Erre szolgál a számtani közép, illetve az alábbiakban ismertetett várható érték. Kiszámítása lehetővé teszi a súlyozott számtani középarányos kiszámítását és értelmezését folytonos értékkészletű változóknál is. Változóként angol eredetiből származtatva az E betűvel jelöljük (Expectation).

LeírásaSzerkesztés

Az   valószínűségi mezőn értelmezett   valószínűségi változó várható értéke

 

amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor az   valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Ha   eloszlásfüggvénye  , akkor a várható értéket felírhatjuk a következő képlettel:

 

Az   valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:

 

Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók várható értékének kiszámításáraSzerkesztés

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.

 
képlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.
  • Ha   diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek halmaza megszámlálható. Jelölje ezeket az értékeket most  , , a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre  , azaz  , ekkor   várható értékét az
 
képlet adja meg. A diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez a sor abszolút konvergens.

A várható érték néhány fontosabb tulajdonságaSzerkesztés

  • Nem negatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nem negatív, azaz, ha  , akkor  .
  • A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha   és   azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, akkor bármely   esetén
 
(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál a mértéktéren értelmezett mérhető függvény lineáris leképezése.)
  • Független valószínűségi változók várható értéke multiplikatív, azaz ha   és   független valószínűségi változók, akkor
 
  • Ha   abszolút folytonos valószínűségi változó és   mérhető függvény, akkor
 

MegjegyzésekSzerkesztés

  • Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.

ForrásokSzerkesztés

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.