Véges térfogat módszere

módszer parciális differenciálegyenletek kiértékelésére

A véges térfogat módszere (angolul finite-volume method, FVM) módszer parciális differenciálegyenletek algebrai alakban való kiértékelésére és ábrázolására. Hasonló a véges differencia módszeréhez vagy végeselem módszeréhez az elemeket egy diszkrét helyen hálós térben számoljuk. A véges térfogat utal egy kis térfogatra amely minden hálópontot körülvesz. Ez a módszer könnyen használható strukturálatlan anyagok esetén.

1D példaSzerkesztés

Vegyük a következő egyszerű 1D advekciós parciális differenciál egyenletet.

 

Itt,   jelenti az állapotváltozót és   jelenti a fluxusát vagy áramlását a   -nak. Természetesen, a pozitív   jelenti a jobb oldali áramlást míg a negatív   jelenti a bal oldali áramlást. Ha feltételezzük, hogy az (1) egyenlet egy állandó területű áramló közeg akkor tudjuk felosztani az   térbeli területtel véges térfogatokra vagy cellákra   indexű cellaközpontokkal. Bizonyos   indexű cellák esetében meg tudjuk határozni a térfogat szerinti átlagos értékét a   -nak a   időpillanatba és az   térfogatelemen, mint

 

és a   időpillanatba mint,

 

ahol   és   jelentik az alsó és felső felületét vagy az éleit a   cellának.

Ha integráljuk az (1) egyenletet idő szerint akkor kapjuk:

 

ahol  .

Ahhoz, hogy megkapjuk az átlag térfogatot a   a   időpillanatban, integráljuk a   a   cellatérfogaton és osszuk az eredményt  , i.e.

 

Feltételezzük, hogy   jól viselkedik, és meg tudjuk cserélni az integrálás sorrendjét. Továbbá, az áramlás merőleges a sejtelemre. Most, amíg egy dimenziójú az  , tudjuk alkalmazni a divergenciatételt, azaz   és helyettesítjük a térfogati integrált az   értékeinek divergenciájával a (élek   és  ) cella felületén úgyhogy a véges térfogat:

 

ahol  .

Tehát származtathatunk egy fél diszkrét numerikus rendszert a fenti cellaközpontú problémát   -vel indexelve és a cella élének fluxusát   indexelve, differenciálva a (6) adott időben kapjuk:

 

ahol az élek fluxusa,  , rekonstruálható a cella átlagok inter- vagy extrapolációjával. A (7) egyenlet egzakt a térfogatátlagot tekintve; deriválása során nem használtunk approximációt.

Általános megmaradási tételSzerkesztés

Az általános megmaradási tételt a következő parciális differenciálegyenletként is tekinthetjük,

 

Itt az   jelképezi az állapotvektor és   jelképezi a megfelelő fluxus tenzort. Megint fel tudjuk osztani a térbeli domíniumot véges térfogatelemekre vagy cellákra. Bizonyos   cellákra, elvégezhetjük a térfogat integrálást a cella teljes térfogatára,  , amiből kapjuk:

 

Az első kifejezés integrálásával megkapjuk az átlag térfogatot és alkalmazzuk a divergencia tételét a második kifejezésre, így a hozam:

 

ahol   jelképezi a teljes felületét a cella területnek és   egy egységvektor normálisa a felületre és kifele mutat. Tehát végül is képesek vagyunk megmutatni egy általános ekvivalens eredményt a (8),

 

Ismét, az élek fluxusainak értékei rekonstruálhatók a cellák átlagának inter-, extrapolációjával. Az aktuális numerikus rendszer függ az aktuális geometriai problémától és az anyag szerkezetétől.

A véges térfogat rendszerek konzervatívak mint a cella átlagok változása az élek fluxusán keresztül. Más szavakkal, hogy egy cella eltűnik mások megnőnek.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite volume method című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

ForrásokSzerkesztés

  • Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

További információkSzerkesztés