Valószínűséggeneráló függvény

A valószínűséggeneráló függvény a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók eloszlásait jellemző függvény. Minden természetes számokat értékként felvevő eloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény, és minden valószínűséggeneráló függvényhez egyértelműen tartozik természetes számokat értékül adó eloszlás.

A hozzárendelés alapján a valószínűséggeneráló függvény segítségével lehet következtetni a valószínűségi változó tulajdonságaira. A valószínűségi változókon végzett műveleteknek megfelelnek a valószínűséggeneráló függvényeken végzett műveletek. Így kapcsolatban állnak a valószínűséggeneráló függvény deriváltjai és az eloszlás várható értéke, szórásnégyzete és további momentumai. A független változók összeadása az eloszlások konvolúciójának és a valószínűséggeneráló függvények szorzásának. A fontos műveletek egyszerűsítése lehetővé teszi olyan bonyolult sztochasztikus objektumok vizsgálatát, mint a Galton-Watson-folyamat.

DefinícióSzerkesztés

A valószínűséggeneráló függvény kétféleképpen is definiálható, ezek azonban ekvivalensek. Az egyik a valószínűségeloszláson, a másik a valószínűségi változón alapul. Mindkét definícióban teljesül a   összefüggés. A továbbiakban   jelöli a természetes számokat, beleértve a nullát, avagy a nemnegatív egész számokat.

ValószínűségeloszlásokraSzerkesztés

Legyen   valószínűségeloszlás az   halmazon, és valószínűségi függvénye  ! Ekkor az   függvény, aminek definíciója

 

 , illetve   valószínűséggeneráló függvénye.[1]

Valószínűségi változókraSzerkesztés

Ha az   valószínűségi változó értékei  -ból valók, akkor a valószínűséggeneráló függvény egy   függvény, aminek definíciója

 .[2]

Ez  , illetve   valószínűséggeneráló függvénye.

Ezzel egy valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye megegyezik eloszlásának valószínűséggeneráló függvényével. Alternatívan, a várható érték segítségével is definiálható:

 .[2]

Elemi példákSzerkesztés

Adva legyen egy Bernoulli-eloszlású   valószínűségi változó, azaz  . Ekkor   és  . Formálisan,   értékeit  -ból veszi fel, de   minden   számra. Ekkor

 .

Ha   binomiális eloszlású az   és   paraméterekkel, azaz  , akkor   esetén a valószínűségek

 

és  , ha  . A valószínűséggeneráló függvény a binomiális tétel miatt

 .

TulajdonságaiSzerkesztés

FüggvénytulajdonságokSzerkesztés

A valószínűséggeneráló függvény hatványsor, aminek konvergenciasugara nagyobb, mint 1, azaz konvergens minden   esetén. Ehhez szükséges, hogy az együtthatók ne legyenek negatívak, és összegük 1 legyen. Ekkor   minden   esetén. Ekkor a vizsgált   szakaszon is teljesülnek a hatványsorok tulajdonságai: folytonosak, sőt végtelen sokszor differenciálhatók a   intervallumon.

Mivel minden   monom konvex és monoton növő, és ezek a tulajdonságok kúp kombinációkra is megmaradnak, azért a valószínűséggeneráló függvények is konvexek és monoton növők.

MegfordíthatóságSzerkesztés

Nemcsak az eloszlásoknak van egyértelműen valószínűséggeneráló függvénye, hanem megfordítva, a valószínűséggeneráló függvény is egyértelműen meghatározza az eloszlást. Formálisan, ha   és     értékű valószínűségi változók, és   minden   esetén, ahol  , akkor   minden   esetén.

Ugyanis a Taylor-képlet szerint minden   esetén

 .

Ez az összefüggés mutatja, hogy   generálja a   valószínűségeket, és a valószínűségi függvény rekonstruálható a valószínűséggeneráló függvényből.

Valószínűségi változók összege és eloszlások konvolúciójaSzerkesztés

Ha   és   független valószínűségi változók, melyek értéküket  -ból veszik fel, akkor az   valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye

 ,

mivel   és   függetlensége miatt   és   is független.

Ez az eredmény általánosítható véges összegre is: Ha   független valószínűségi változók, és értékük  -beli, akkor az   valószínűségi változóra

 .

Következik, hogy ha   valószínűségi mértékek, akkor konvolúciójuk,   valószínűséggeneráló függvénye

 .

Példa:

Legyen   független Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, ugyanazzal a   paraméterrel. Ekkor összegük binomiális eloszlás a   és   paraméterekkel, tehát  . A Bernoulli-eloszlások és a binomiális eloszlás valószínűséggeneráló függvénye

 .

MomentumgenerálásSzerkesztés

Egy   értékű   valószínűségi változóra és  -ra teljesül, hogy

 

illetve

 .

Az egyenlőségek két oldala véges, ha   véges.

Eszerint egy   értékű valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete:

 ,
 .

Lényeges, hogy itt a bal oldali határértéket vegyük figyelembe, mivel a hatványsorok nem feltétlenül differenciálhatók a peremen.

Példa:

Legyen   binomiális eloszlású valószínűségi változó, azaz  . Ekkor

 

Mindkét derivált polinom, így kiértékelhetők a   helyen, ami megegyezik a bal határértékkel. Ezzel

 .

A fenti eredményekkel

 .

Valószínűségi változók lineáris transzformációjaSzerkesztés

A lineáris transzformációk hatása a valószínűséggenerátor függvényre:

 . Így több diszkrét valószínűségi változó helyett is vizsgálható egész értékűre transzformált formája.

Példa:

Ha   Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, azaz  , akkor   esetén az   valószínűségi változó eloszlása kétpontos, értékkészlete  . Valószínűséggeneráló függvénye

 .

KonvergenciaSzerkesztés

A valószínűséggeneráló függvény pontonkénti konvergenciája közvetlenül kapcsolatba hozható a valószínűségbeli konvergenciával:

Legyenek   valószínűségi változók, és valószínűséggeneráló függvényeik  ! Ekkor az  -ek pontosan akkor konvergálnak eloszlásban egy   valószínűségi változóhoz, ha az   valószínűséggeneráló függvények pontonként konvergálnak egy   valószínűséggeneráló függvényhez minden   esetén, ahol  .[3]

Hasonló teljesül a valószínűségeloszlások gyenge konvergenciájára és a valószínűséggeneráló függvények pontonként konvergenciájára.

Véletlen összegek valószínűséggeneráló függvényeiSzerkesztés

Véletlen darabszámú összeg is kiszámítható valószínűséggeneráló függvénnyel. Legyenek   független, azonos eloszlású valószínűségi változók   értékekkel, és legyen   szintén   értékű, az   valószínűségi változóltól független valószínűségi változó! Ekkor az   valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye

 .

Ez az összefüggés hasznos például a Galton-Watson-folyamat elemzésére. A fenti összefüggések alapján a várható érték láncszabállyal számítható:

 ,

ami megfelel a Wald-formulának.

A szórásra teljesül, hogy:

 ,

ami a Blackwell-Girshick-egyenlőség. A szorzásszabállyal és a fenti eredmények felhasználásával következik.

Magasabb dimenzióbanSzerkesztés

Ha     dimenziós valószínűségi vektorváltozó, ami értékeit  -ból veszi fel, akkor valószínűséggeneráló függvénye

 

ahol  .

Várható érték, szórásnégyzet, kovarianciaSzerkesztés

Az egydimenziós esethez hasonlóan

 

és

 

továbbá

 

PéldákSzerkesztés

A táblázatban bemutatjuk a leggyakrabban használt diszkrét eloszlások valószínűséggeneráló függvényeit. Jegyezzük meg, hogy a binomiális eloszlás generátorfüggvénye a Bernoulli-eloszlás hatványa, mivel a binomiális eloszlás előáll független Bernoulli-eloszlások összegeként. Ugyanez teljesül a geometriai eloszlásra és a negatív binomiális eloszlásra is.

Eloszlás Valószínűséggeneráló függvény,  
Bernoulli-eloszlás  
Kétpontos eloszlás  
Binomiális eloszlás    
Geometriai eloszlás    
Negatív binomiális eloszlás    
Diszkrét egyenletes eloszlás  -en  
Logaritmikus eloszlás  
Poisson-eloszlás    
Általánosított binomiális eloszlás    
Többváltozós eloszlás
Multinomiális eloszlás  

Kapcsolat más generátorfüggvényekkelSzerkesztés

A   valószínűségi függvényű   valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye a generátorfüggvény speciális esete, ahol   minden   esetén. A valószínűségszámításban további három generátorfüggvényt használnak nemcsak diszkrét valószínűségi változókra.

A momentumgeneráló függvény definíciója  . Eszerint  .

A karakterisztikus függvényt úgy értelmezik, mint  . Eszerint  .

A momentumgeneráló függvény logaritmusa a kumulánsgeneráló függvény, amiből a kumuláns fogalmát származtatják.

ForrásokSzerkesztés

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 370 ff.
  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013) 
  • Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005) 
  • Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009) 
  • Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003) 

JegyzetekSzerkesztés

  1. Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  2. a b Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  3. Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6