Valószínűségi mező

A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy „kísérleteket”) modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

DefinícióSzerkesztés

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke 1. Bővebben:

Legyen   tetszőleges halmaz. Ha a   hatványhalmaz egy   részhalmaza   σ-algebra, azaz

  •  , vagyis az üreshalmaz  -beli,
  • minden   halmaz esetén  , vagyis az  -ra vett komplementer halmaz is  -beli, és
  • minden   halmazsorozat esetén  ,

és létezik egy   mérték, hogy

  •  ,
  •  , és
  • minden   páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén  ,

akkor az   hármast valószínűségi mezőnek nevezzük.

 
Szerencsekerék modellezése valószínűségi mezővel: az összes lehetséges kimenetel itt  . Az   alaphalmaz részhalmazainak valószínűségét szektora szögének a teljesszöghöz (360°) viszonyított nagysága adja meg

Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség fogalma tisztán axiomatikus felírással is kezelhető, és nemcsak empirikusan – ahogy azt von Mises leírta. Alapvető az a gondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adjuk meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.

ElnevezésekSzerkesztés

Az   halmaz eseménytér.

Az   elemeket kimeneteleknek, néha elemi eseményeknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen   halmazokon értelmezett.

Az    -algebra eseményalgebra.

Az   halmazok események.

Az   esemény az   esemény komplementere.

Az   esemény biztos esemény, mert  .

Az   esemény lehetetlen esemény, mert  .

A   mérték valószínűség.

PéldákSzerkesztés

Példák diszkrét valószínűségi mezőreSzerkesztés

Általánosabban, diszkrét valószínűségi mezőről van szó, ha az eseménytér véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és eseményalgebrája a hatványhalmaz, vagyis  . Ebben az esetben nincsen szükség a σ-algebra fogalmának bevezetésére,   diszkrét valószínűségi mezőről beszélhetünk.[1]

Klasszikus valószínűségi mezőSzerkesztés

Legyen   véges halmaz,   és minden   halmaz esetén  . Ekkor az   valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Akkor is beszélnek diszkrét valószínűségi mezőről, ha az   eseménytér tetszőleges, de a valószínűségek mindig egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz elemeit veszik fel, azaz ennek a halmaznak 1 a valószínűsége.[2]

Bernoulli mezőSzerkesztés

Ha az alaphalmaz,   a valószínűségek pedig  , akkor Bernoulli-mezőrtől van szó.[3]

Poisson-eloszlásból származtatottSzerkesztés

A természetes számok halmaza, mint eseménytér, azaz  , minden természetes szám lehetséges kimenetel.

Az események ennek véges vagy megszámlálható végtelen részhalmazai.

Valószínűségi mérték lehet a   Poisson-eloszlás. A   szám valószínűsége  , ahol   pozitív paraméter.

Ezzel   diszkrét valószínűségi tér.

Példák nem diszkrét valószínűségi mezőreSzerkesztés

Geometriai valószínűségi mezőSzerkesztés

Legyen   olyan Lebesgue mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke   véges,   az   halmaz Lebesgue mérhető részhalmazainak  -algebrája és minden   esemény esetén  . Ekkor az   valószínűségi mezőt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük.

Exponenciális eloszlásból származtatottSzerkesztés

Az eseménytér a nemnegatív számok   halmaza.

Az események az   Borel-részhalmazai, azaz  . Ezzel minden nyílt, zárt, félig nyílt intervallum, ezek egyesítése, metszete és komplementere esemény.

Valószínűségi mérték lehet az exponenciális eloszlás, ami minden   Borel-halmazhoz a

 

valószínűséget rendeli, ahol   paraméter.

Ezzel   valószínűségi mező.

További példákSzerkesztés

  • Indukált valószínűségi mező, ami egy valószínűségi változó képtere, ellátva a valószínűségi változó eloszlásával mint valószínűséggel.
  • Teljes valószínűségi mező, teljes mértéktér a valószínűséggel mint mértékkel.
  • Szorzattér
  • Szűrt valószínűségi mező, valószínűségi mező szűrővel.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
  2. David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 
  3. Ehrhard Behrends. Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Wiesbaden: Springer Spektrum (2013). ISBN 978-3-8348-1939-0 

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.