Vegyes szorzat

A vegyes szorzat három darab háromdimenziós vektor között értelmezett matematikai művelet, melynek eredménye skalár (szám).

Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc. Értéke definíció szerint abc = (a × b)·c, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával.

Tulajdonságai

• abc = bca = cab = –cba = –bac = –acb
• (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) = λ(abc), bármely λ skalárra.
• Ha az a, b, c vektorok lineárisan összefüggők, akkor a vegyes szorzat 0.
• A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetes mátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz

$\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}.$

• Disztributív a vektorösszeadásra nézve

$\mathbf {a} \mathbf {b} (\mathbf {c} +\mathbf {d} )=\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} +\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {d}$.

Geometriai jelentése

A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata.

$V=A\cdot h$

Az a×b vektoriális szorzat nagysága éppen az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe:

$A=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|$.

A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint

$h=\left|\mathbf {c} \right|\cos \alpha ={\hat {\mathbf {e} }}_{\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c}$

Ebből következik, hogy

$V=A\cdot h=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|({\hat {\mathbf {e} }}_{\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}\cdot \mathbf {c} )=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c}$

Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.

Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek.

Források

• Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2