Vegyes szorzat
A vegyes szorzat három darab háromdimenziós vektor között értelmezett matematikai művelet, melynek eredménye skalár (szám).
Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc. Értéke definíció szerint abc = (a × b)·c, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával.
TulajdonságaiSzerkesztés
- abc = bca = cab = –cba = –bac = –acb
- (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) = λ(abc), bármely λ skalárra.
- Ha az a, b, c vektorok lineárisan összefüggők, akkor a vegyes szorzat 0.
- A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetes mátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz
- Disztributív a vektorösszeadásra nézve
- .
Geometriai jelentéseSzerkesztés
A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata.
Az a×b vektoriális szorzat nagysága éppen az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe:
- .
A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint
Ebből következik, hogy
Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.
Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek.
ForrásokSzerkesztés
- Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2