Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).

Egy paralelogramma területe mint két vektor vektoriális szorzatának nagysága

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b), hogy megkülönböztessük a skaláris szorzattól. A kereszt jelölés a német és az angol szakirodalomban is használatos. Az olasz és a francia szakirodalom a , az orosz az vagy jelölést részesíti előnyben.

Az jelölés és a külső szorzat elnevezés egy másik műveletre is vonatkozhat, ami bivektort rendel a két vektorhoz. Lásd még: Graßmann-algebra.

Értelmezése:

Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével. Másként,

  1. Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
  2. Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
  3. Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.
(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

Vagy rövidebben: , ahol a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).

A fizikában számos helyen megjelenik, például az elektromágnesességben a Lorentz-erő vagy a Poynting-vektor kiszámolására. A klasszikus mechanikában a forgatómomentum és a forgatóimpulzus, vagy virtuális erők esetén, például a Coriolis-erő esetén.

A vektoriális szorzás és a keresztszorzás elnevezéseket először Josiah Willard Gibbs fizikus használta először; a külső szorzás kifejezés Hermann Graßmanntól származik.[1]

Tulajdonságok

szerkesztés
  •  , tehát az összeadásra disztributív
  •  
  •  , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi-azonosságot:  . Ez a linearitással és disztributivitással együtt azt eredményezi, hogy R3 a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie-algebrát képez.

Bilinearitás

szerkesztés

A vektoriális szorzat bilineáris,[2] azaz minden  ,   és   valós számra, illetve  ,   és   vektorra teljesül, hogy

 

Következik a skalárral való szorzásra:

 
 

Alternáló tulajdonság

szerkesztés

Egy vektor önmagával vagy bármely skalárszorosával vett szorzata a nullvektor:

 .

A bilineáris leképezések, melyekre ez a tulajdonság is teljesül, alternálók.[2]

Antikommutativitás

szerkesztés
 , tehát antikommutatív,

ami következik a bilineáris és az alternáló tulajdonságból:

 

minden   vektorra.[2]

Kapcsolat a determinánssal

szerkesztés

Minden   vektor esetén teljesül, hogy:

 .

ahol a pont a skaláris szorzást jelöli. Ez a tulajdonság egyértelműen meghatározza a skaláris szorzást:[2]

Minden   vektor esetén fennáll, hogy tetszőleges  ,   vektorokhoz pontosan egy   vektor létezik úgy, hogy   minden   vektorra. Ez a   vektor egyenlő az   vektoriális szorzattal.

Graßmann-azonosság

szerkesztés

Három vektor ismételt vektoriális szorzatára[3] teljesül a Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele, azaz

 

illetve

 

A fizikában gyakran az

 

írásmódot használják. Ez alapján a képletet nevezik BAC-CAB-képletnek is. Indexes írásmód esetén a Graßmann-azonosság:

 .

ahol   a Levi-Civita-szimbólum, és   a Kronecker-delta.

Lagrange-azonosság

szerkesztés

Két vektoriális szorzat skaláris szorzatára teljesül, hogy:[2]

 

A norma négyzetére kapjuk, hogy:

 

tehát a vektoriális szorzat normája:

 

Mivel   az  ,   vektorok közrezárt szöge, így mindig 0° és 180° közötti, azért  . Innen a becslés:

 .

Vektoriális szorzatok vektoriális szorzata

szerkesztés
 

Speciális esetek:

 
 
 

Kifejtési tétel

szerkesztés
 

Négyesszorzat:

 , ahol   módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

 

  (i=1,2,3) vektorok   (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

 
 
 , ahol  

Kiszámítása a derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben

szerkesztés

Jobbfogású Descartes-féle koordináta-rendszerben, illetve   valós térben, a szabványos skalárszorzással és a szabványos orientációval:

 

Egy számpélda:

 

Előállítása mátrixszorzásként

szerkesztés

Három dimenzióban két vektor közötti vektoriális szorzást átírhatunk egy 3×3-as antiszimmetrikus mátrix és egy vektor szorzatára a következőképpen:

 

Determinánsalak

szerkesztés

 , ahol i, j és k az egységvektorok.

A gyakorlatban ezek a módszerek könnyebben megjegyezhetőek és a számolást is egyszerűsítik.

Levezetés

szerkesztés

Ha az euklideszi térben bevezetünk egy Descartes-féle koordináta-rendszert az   egységvektorokkal, akkor a geometriai definíció és az antikommuitativitás miatt:

 

Kifejezve az   tényezőket a bázisegységvektorokkal, a vektoriális szorzat így alakul:

 

Bilinearitás miatt:

 

Behelyettesítve a fenti vektoriális szorzatba:

 

Összevonva a megfelelő termeket:

 

Vektoriálisszorzó-mátrix

szerkesztés

Legyen   egy rögzített vektor! Ekkor a vektoriális szorzás egy lineáris leképezést definiál, ami egy tetszőleges   vektort a   vektorra képez. Ez azonosítható egy ferde másodfokú tenzorral. A   standard bázis alkalmazása esetén megfelelő ferdén szimmetrikus mátrix

     ahol     

ugyanaz, mint a vektoriális szorzás  -vel, azaz  :

 .

Ez a   mátrix vektoriálisszorzó-mátrix. Úgy is jelölik, mint  . Indexes jelöléssel:

 

ahol

 .

Adott   ferdén szimmetrikus mátrix esetén

 ,

ahol   a   mátrix transzponáltja. A hozzá tartozó vektor

 .

Ha   alakja  , akkor a hozzá tartozó vektoriálisszorzó-mátrix

  és   minden   indexre.

Ahol „ diadikus szorzat.

Poláris és axiális vektorok

szerkesztés

Vektoriális fizikai mennyiségekre alkalmazva a vektoriális szorzást különbséget tesznek poláris vagy eltolási vektorok (két helyvektor különbsége), és axiális, azaz forgatóvektorok között (ezek forgástengelyként működnek, például szögsebesség, forgatómomentum, forgatóimpulzus, mágneses folyamsűrűség).

A poláris vektorok szignatúrája +1, az axiális vektoroké −1. Vektoriális szorzáskor a szignatúrákat is összeszorozzák: ha a szignatúrák megegyeznek, akkor a szorzat axiális; különben a szorzat poláris. Azaz egy axiális vektor átviszi szignatúráját a szorzatra; ellenben a poláris vektor megfordítja az előjelet.

A vektoriális szorzásból származtatott műveletek

szerkesztés

Vegyes szorzat

szerkesztés
 
A vegyes szorzat megadja a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatát

A vektorok vegyes szorzatának definíciója:

 

Az eredmény egy szám, ami megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatával. A vektoriális szorzat ábrázolható a három tényezőből alkotott mátrixszal:

 

A vektoranalízisben a   nabla operátorral együtt alkalmazzák a vektoriális szorzást, hogy bevezessék a rotációt. Ha   vektormező  -ben, akkor

 

ismét vektormező,   rotációja.

Formálisan a rotációt a nabla operátor és a vektormező vektoriális szorzataként fejezik ki. Az itt m,egjelenő   kifejezések nem szorzatok, hanem az   operátorok alkalmazása a   függvényekre; így a fenti tulajdonságok, például a Graßmann-azonosság nem teljesülnek. Ehelyett a nabla operátorral való számolás szabályai érvényesülnek.

Vektoriális szorzás más dimenziókban

szerkesztés

A vektoriális szorzás általánosítható tetszőleges   dimenzióra az   térben. Ebben a tényezők száma nem 2, hanem  , azaz például 2 dimenzióban egy vektor elég, de négy dimenzióban három kell.

Az   vektorok vektoriális szorzatát az jellemzi, hogy minden   esetén

 

A vektoriális szorzat koordinátái  -ben a következőképpen számítjuk: Legyen   az  -edik standard egységvektor! Az   vektorra:

 

teljesül, hogy   a fenti determinánsos számoláshoz hasonlóan.

Az   vektor ortogonális az   vektorokra. Az irányítás olyan, hogy   ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Az   szorzat hossza megegyezik az   által kifeszített parallelotóp   dimenziós térfogatával.

Az   esetben egy lineáris leképezést kapunk:

 

ami egy 90 fokos forgatás az óramutató járása szerint.

Itt meg kell jegyeznünk, hogy a tényezőkhöz hozzávéve a szorzatvektort csak páratlan dimenzióban kapunk jobbrendszert; páros dimenziókban balrendszert kapunk. Ez azon múlik, hogy   páros dimenzióban nem ugyanaz a bázis, mint  , ami definíció szerint jobbrendszer. Habár egy kisebb változtatással a definícióban páros dimenziókban is jobbrendszerre lehetne áttérni (azaz a szimbolikus determinánsban az egységvektorokat utolsó sorként vagy oszlopként megadni), ez a definíció nem terjedt el.

Egy további általánosítással Graßmann-algebrákhoz jutunk, melyek a differenciálgeometriában találnak alkalmazásra. Itt különféle fizikai területek részletesen modellezhetők, mint a klasszikus mechanika (szimplektikus sokaságok), a kvantumgeometria, illetve az általános relativitáselmélet. A szakirodalom elrejti a magasabb dimenziós, illetve görbült terekben definiált vektoriális szorzást, és inkább indexenként írja ki Levi-Civita-szimbólumokkal.

Komplex vektoriális szorzás

szerkesztés

Komplex vektorterekben, például  -ben a vektoriális szorzás definíciója a skaláris szorzástól függ. Ha az  vektorok skaláris szorzását úgy választjuk, hogy az első tényező koordinátáit komplex konjugáljuk:

 

akkor a vektoriális szorzat számítható úgy, mint  -ben, és a végén komplex konjugálva:

 

Alkalmazások

szerkesztés

Alkalmazzák a geometriában kitérő egyenesek távolságának számítására.

A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő:  
r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka:  

Külső hivatkozások

szerkesztés
  1. Max Päsler. Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. Walter de Gruyter, 33. o. (1977) 
  2. a b c d e Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, ISBN 3-7643-7105-6 (Grundstudium Mathematik), S. 312–313
  3. Doppeltes Vektorprodukt (Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik, Othmar Marti, abgerufen am 2. Oktober 2020)

Lásd még

szerkesztés

Fordítás

szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.