Főmenü megnyitása

A Venn-diagram, vagy más elnevezéssel halmazábra, a halmazokat, azok viszonyait, méretét és műveleteit szemléltető diagram. Többnyire síkidomokat tartalmaz: köröket, téglalapokat, ellipsziseket. Leonhard Euler svájci matematikus és fizikus használta először, majd John Venn brit matematikus népszerűsítette 1880-ban.

Használják az elemi halmazelmélet tanításában, a logikában, valószínűségszámításban, statisztikában, illetve a nyelvészetben. Általában csak néhány halmaz szemléltetésére alkalmas, mivel sok egymást kölcsönösen metsző halmaz esetén az ábra elbonyolódik, vagy nem is lehetséges az összes metszetet ábrázolni.

Tartalomjegyzék

Leírása, példákSzerkesztés

A diagramon általában körök jelölik a halmazokat, de általában bármely zárt Jordan-görbe is a diagram részévé válhat. A görbe belseje megfelel egy adott halmaz elemeinek, külseje az adott halmazba nem tartozó elemeknek. Az alaphalmazt általában téglalap jelöli.

Halmazok számossága (mérete):

  • Az egyes részekbe írt számok az adott rész számosságát (méretét) jelölik
  • Ha egy részről kiderül, hogy üres, akkor besatírozzák

Halmazok viszonyai:

  • Diszjunkt halmazok, mint különálló körök
  • Részhalmaz, mint a tartalmazó halmaz körében levő kör
  • Metsző halmazok, mint metsző körök

Az ilyen diagramokat Euler-diagramnak is nevezik.

  • Ugyanezek a viszonyok kisatírozással is ábrázolhatók

Műveletek ábrázolása:

  • Unió, mindkét halmaz beszínezése
  • Metszet, a halmazok közös részének beszínezése
  • Differencia, az A\B különbség esetén az A halmaz B-hez nem tartozó részének beszínezése
  • Szimmetrikus differencia, a két különbséghalmaz uniójának beszínezése

Az ábrázolás elbonyolódásaSzerkesztés

Háromnál több egymást mind metsző halmazt nem lehet csak körökkel ábrázolni. A szimmetrikus diagramokon nem lehet minden metszetet megtalálni, ezért más módot kell találni. Maga Venn készítette az első konstrukciókat, majd A. W. F. Edwards is előállt a maga diagramjaival, amikbe visszahozta a szimmetriát.

Venn konstrukcióiSzerkesztés

 
Venn konstrukciója 4 halmazra
 
Venn konstrukciója 5 halmazra
 
Venn konstrukciója 6 halmazra
 
Venn diagramja négy halmazra ellipszisekkel
 
Szimmetrikus diagram négy halmazra 13 mezővel. Nincs olyan mező, amiben csak a sárga és a kék, vagy csak a zöld és a rózsaszín metszené egymást

Edwards konstrukciójaSzerkesztés

 
Három halmaz
 
Négy halmaz
 
Öt halmaz
 
Hat halmaz

Edwards ötlete az volt, hogy a Venn-diagramot gömbfelszínen készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a negyediké meg úgy kanyarog, mint teniszlabdán a varrat. A visszavetítés után fogaskerék alakú halmazok keletkeznek, ahol minden egyes további halmaznak egyre több foga van.

Más tervekSzerkesztés

Edwards Venn-diagramja homeomorf a Branko Grünbaum által készített egyre nagyobb oldalszámú sokszögeket tartalmazó diagrammal.

Smith hasonló diagramokat tervezett szinuszgörbék felhasználásával.

Lewis Carroll öt egymást mind metsző halmazra készített Venn-diagramot[forrás?].

Térbeli Venn-diagramSzerkesztés

A halmazok kölcsönös viszonyait néha térben ábrázolják:

   

    

 

      

 

    

 

ForrásokSzerkesztés

  • Puska helyett: Halmazok
  • I. Stewart (2004) Another Fine Math You've Got Me Into, Dover Publications Inc. ISBN 0-486-43181-9 ch4
  • A.W.F. Edwards (2004) Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London. ISBN 0-8018-7434-3
  • John Venn (1880). „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings”. Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 10 (59), 1–18. o.  

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Venn diagram című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információkSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Venn-diagram témájú médiaállományokat.