Főmenü megnyitása

A Waring-probléma az additív számelmélet egyik alapfeladata, azzal foglalkozik, hogy hány darab k-adik hatvány (nem negatív egész szám k-adik hatványa) szükséges egy tetszőleges pozitív egész összegként való előállításához. Itt k egynél nagyobb egész. Waring sejtése szerint minden k>1 számhoz van olyan g(k) szám, hogy minden természetes szám előáll g(k) k-adik hatvány összegeként. (Itt mindegy, hogy legfeljebb, vagy pontosan g(k) tagot követelünk, mert az összeget mindig kiegészíthetjük tetszőlegesen sok taggal). Hilbert 1909-ben igazolta, hogy g(k) létezik minden k-ra. Mára apró bizonytalanságtól eltekintve minden k-ra ismerjük g(k) értékét. Legkésőbb g(4)=19-t igazolták 1986-ban. Hilbert bizonyítási eljárásának jelentős leegyszerűsítése a magyar Kürschák József nevéhez fűződik.

Története, elnevezésSzerkesztés

Edward Waring 1770-ben kiadott Meditationes Algebraicae című könyvében publikálta azt az észrevételét, hogy „Omnis integer numerus vel est cubus; vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubus compositus: est etiam quadratoquadratus; vel e duobus, tribus etc. usque ad novemdecim compositus et sic deinceps.” azaz minden szám előáll kilenc köbszám, tizenkilenc negyedik hatvány stb. összegeként. A modern matematika ezt úgy fogalmazza meg, hogy minden   természetes számhoz megadható egy csak k-tól függő s(k) szám, hogy minden természetes szám előáll legfeljebb s(k) k-adik hatvány összegeként, azaz a k-adik hatványok sorozata bázist alkot. Hagyományosan g(k)-val jelölik s(k) legkisebb értékét.

Még 1770-ben igazolta Lagrange azt a régi sejtést, hogy minden természetes szám négy négyzetszám összege, azaz g(2)=4 (a négynégyzetszám-tétel).

Alsó becslés g(k)-raSzerkesztés

 

ahol   az x szám alsó egészrészét jelöli.

Ez a korlát úgy adódik, hogy mutatunk egy számot, aminek az előállításához legalább ennyi k-adik hatvány szükséges. Legyen

 

Ekkor az   számot csak   és   tagokkal tudjuk előállítani, mivel  . De a tagok száma akkor a legkisebb, ha r-1 tag értéke   és   értéke 1. Azaz a tagok száma  .

g(4) létezikSzerkesztés

Liouville igazolta, hogy g(4) létezik, pontosabban, hogy minden természetes szám előáll 53 negyedik hatvány összegeként. Ehhez a

 

azonosságot használta fel. A jobb oldalon a negyedik hatványok száma 12. Ebből, Lagrange tételét használva, következik, hogy minden   alakú szám felírható 12 negyedik hatvány összegeként. Ismét használva Lagrange eredményét, minden 6x alakú számot   alakban írhatunk és ez, az előbbiek szerint 48 negyedik hatvány összege. Végül egy tetszőleges számot egy 6x alakú szám és legfeljebb 5 egyes segítségével felírva adódik Liouville tétele.

g(3) értékeSzerkesztés

Először E. Maillet igazolta 1895-ben, hogy g(3) létezik, sőt  . Ezt sokak javítása után 1909-ben Arthur Wieferich javította a pontos g(3)=9 értékre (egy esetet, amit Wieferich elnézett, Kempner 1912-ben zárt le).

AzonosságokSzerkesztés

Számos egyéb konkrét esetre igazolták g(k) létezését, ehhez nem egy esetben a fentihez hasonló azonosságokat használtak.

Fleck például  -öt ki tudta fejteni, mint

 

és ebből már levezethető g(6) létezése.

Hurwitz  -ra igazolta, hogy egyenlő a következővel:

 

Hurwitz kimondta azt az általános sejtést is, hogy minden k-ra van

 

alakú azonosság, ahol az  -k pozitív racionális számok, a  -k pedig egészek.

Waring sejtésének igazolásaSzerkesztés

Waring sejtését először Hilbert igazolta 1909-ben. Először is arra adott egzisztenciabizonyítást, hogy létezik, Hurwitz fenti sejtésében megfogalmazott típusú azonosság. Ezután számos egyéb azonosság létezését vezette le, majd k-ra indukcióval igazolta a tételt. Módszere alkalmatlan volt arra, hogy g(k)-ra bármilyen korlátot kapjon. Az 1920-as években Hardy és Littlewood a körmódszer segítségével számos új eredményt ért el, többek közt a   becslést. Módszerük azon alapult, hogy analitikus eszközökkel becsléseket adtak az

 

egyenlet megoldásszámára. Eredményeiket erősen megjavította Vinogradov. Ennek nyomán Dickson, Pillai, Rubugunday és Niven lényegében meghatározta g(k) értékét minden  -ra. Tételük szerint, ha

 

akkor

 

Ha viszont

 

akkor legyen

 

Ekkor, ha  , akkor

 

ha pedig  , akkor

 

Stemmler (1964) szerint az első feltétel, így az első képlet teljesül minden   értékre és Mahler 1957-ben igazolta, hogy véges kivétellel minden k értékre. Sejtjük, hogy k minden értékére teljesül.

Linnyik 1943-ban egy teljesen elemi bizonyítást publikált Hilbert tételére.

A g(4) = 19 egyenlőséget 1986-ban igazolta Balasubramanian, Dress, és Jean-Marc Deshouillers,[1][2] g(5) = 37-et 1964-ben Chen Jingrun, végül g(6) = 73-at 1940-ben Subbayya Sivasankaranarayana Pillai.[3]

G(k)Szerkesztés

Korlátok
1 = G(1) = 1
4 = G(2) = 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 = G(4) = 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

1909-ben Landau publikálta azt a meglepő eredményt, hogy minden elegendő nagy szám már 8 köbszám összegeként is felírható. 1939-ben L. E. Dickson ezt úgy pontosította, hogy csak 23 és 239 a kivételek. Linnyik 1943-ban azt is igazolta, hogy minden elég nagy szám legfeljebb 7 köbszám összege. Minden jel szerint minden elég nagy szám már 4 köbszámmal is előállítható, sőt azt sejtik,[4] hogy 7373170279850 a legnagyobb szám, ami nem írható fel 4 köbszám összegeként. Négy köbszám biztosan szükséges végtelen sok számhoz: mivel a 3-mal nem osztható számok köbe 9-cel osztva  -et ad maradékul, ilyenek azok a számok, amelyek 9-cel vett maradéka 4 vagy 5. Mindenesetre Davenport igazolta, hogy a négy köbszámmal nem előállítható számok száma x-ig   és ezt Brüdern  -ra javította.

E jelenségek vizsgálatára vezette be Hardy és Littlewood a G(k) értéket, ami a legkisebb olyan m számot jelenti, hogy minden elég nagy természetes szám előáll m darab k-adik hatvány összegeként. Ennek hátterében egyrészt az áll, hogy, mint a fenti példán is láttuk, k>2-re csak kis számokhoz szükséges g(k) k-adik hatvány, később ez leesik egy jóval kisebb értékre, másrészt az analitikus eljárásokkal kapott becslések csak igen nagy számokra adnak jó eredményeket. Tudjuk tehát, hogy G(2)=4, mert, mint könnyen látható, végtelen sok szám (a   alakú számok) nem állíthatóak elő három négyzetszám összegeként.

G(k) pontos értéke a legtöbb esetben ismeretlen. A fentiek szerint G(3)-ról csak annyit tudunk hogy:  . Könnyen látható, hogy   minden k>1-re, ugyanis a k darab k-adik hatvány összegeként felírható számok sorozatának felső sűrűsége legfeljebb  . Továbbá  , ha  , ugyanis a   alakú számokhoz legalább ennyi  -adik hatvány kell. De ekkor  -nek is teljesülnie kell, hiszen minden  -adik hatvány egyben  -adik hatvány is. Sejthető, hogy k>2-re a fenti korlátok adják meg G(k) pontos értékét.

G(4) értékét pontosan megadja Davenport egy tétele,[5] ami szerint minden elég nagy szám, ha 16-tal osztva nem 14 vagy 15 maradékot ad, felírható 14 negyedik hatvány összegeként. Ebből következik, hogy G(4)=16 és tizenhat negyedik hatványra csak a   alakú számok felírására van szükség, ahol A egy véges halmaz eleme.

Hardy és Littlewood igazolta, hogy  . Ezt Vinogradov a   becslésre javította. A legjobb eredmény T. D. Wooleytól származik:  . (Lásd például Vaughan könyvében.[6])

HivatkozásokSzerkesztés

  1. R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers, F. Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution., Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., 303(1986), 85-88.
  2. R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers, F. Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., 303(1986), 161-163.
  3. S. S. Pillai: On Waring's problem g(6)=73, Proc. Indian Acad. Sci., 12A,(1940)) 30-40.
  4. Jean-Marc Deshouillers, François Hennecart, Bernard Landreau, 7373170279850, Mathematics of Computation, 69(2000) 421-439, elérhető itt: http://www.ams.org/mcom/2000-69-229/S0025-5718-99-01116-3/S0025-5718-99-01116-3.pdf
  5. H. Davenport: On Waring's problem for fourth powers, Annals of Mathematics, 40(1939), 731-737.
  6. R. C. Vaughan: The Hardy-Littlewood method, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics, CUP, 1997