Weierstrass-elmélet

A Weierstrass-elmélet a matematikában egy hatványsorok egy bizonyos alakú szorzattá bontásáról szóló tételcsalád. Az említett szorzat egyik tényezője ekkor egy úgynevezett kitüntetett vagy Weierstrass-polinom, (egy) másik tényezője pedig egy megfelelő értelemben vett egység. Weierstrass-elméletről beszélhetünk a többváltozós komplex analízisben, valamely teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok esetében, illetve Tate-algebrákban.

Többváltozós komplex analízis

Az egyváltozós komplex analízisben megmutatható, hogy ha egy $f(z)$ függvény holomorf a 0 egy nyílt környezetében, akkor felírható z egy hatványának és egy 0-ban nem eltűnő holomorf függvénynek a szorzataként. Ekkor a z kitevője a 0 zérushely multiplicitása.

Ezt általánosítja a Weierstrass-előkészítésitétel:

Legyen $f(z_{1},\ldots ,z_{n})$ egy n-változós holomorf függvény a $(0,\ldots ,0)$ egy nyílt környezetében úgy, hogy $f(0,\ldots ,0)=0$ valamely s multiplicitással, és az $f(0,\ldots ,0,z_{n})$ egyváltozós függvény nem azonosan nulla. Ekkor $(0,\ldots ,0)$ valamely környezetében f felírható

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})=g(z)\left(z_{n}^{s}+\sum _{i=1}^{s}f_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})z_{n}^{s-i}\right)$

szorzatalakban, ahol minden i-re $f_{i}$ $n-1$ változós holomorf függvény, $f_{i}(0,\ldots ,0)=0$, g pedig holomorf és nem tűnik el a $(0,\ldots ,0)$ egy környezetében.

Ehelyett az analitikus megfogalmazás helyett a tétel kimondható algebrai formában is:

Legyen $f\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]$, és legyen s az f legkisebb fokú nemnulla együtthatós monomja. Ekkor f felírható

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})=g(z)\left(z_{n}^{s}+\sum _{i=1}^{s}f_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})z_{n}^{s-i}\right)$

szorzatalakban, ahol $f_{1},\ldots ,f_{s}\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n-1}]]$ zeró konstans taggal, és $g\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]$ nemzéró konstans taggal. Továbbá ez a szorzatalak egyértelmű.

A két megfogalmazás ekvivalenciáját a holomorficitás és analiticitás közti kapcsolat adja. A második megfogalmazás arra is rámutat, hogy a tétel lényegében algebrai állítás.

Ebben az algebrai kontextusban mondjuk ki a Weierstrass-maradékososztási tételt:

Legyen $f,g\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]$, legyen $g(0,\ldots ,0)=0$ valamely s multiplicitással, és tegyük fel, hogy $g(0,\ldots ,0,z_{n})$ nem azonosan nulla. (Azaz g teljesíti az előkészítési tétel feltételeit.) Ekkor léteznek egyértelmű $q\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]$ és $r\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n-1}]][z_{n}]$ legfeljebb $s-1$ fokú polinom úgy, hogy r együtthatói eltűnnek $(0,\ldots ,0)$-ban, és

$f=gq+r$.

Tate-algebrák

Legyen K egy test egy nemtriviális nemarkhimédeszi abszolút értékkel, amire nézve K teljes. A komplex analízissel való analógiában ez a K test játssza a komplex számok szerepét: a különbség abban áll, hogy K nemarkhimédeszi, míg $\mathbb {C}$ arkhimédeszi teljes test. A Tate-algebrák elmélete a rigid geometriához tartozik: ezen terület célja a komplex geometriával analóg elmélet felépítése nemarkhimédeszi testek felett.

A $K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle$ Tate-algebra azon K feletti n-változós formális hatványsorokból áll, amiknek együtthatói nullához tartanak:

$K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle =\left\{\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\nu }\zeta ^{\nu }\in K[[\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}]]:c_{\nu }\in K,\lim _{|\nu |\to \infty }|c_{\nu }|=0\right\}$

Itt $\zeta ^{\nu }=(\zeta _{1}^{\nu _{1}},\ldots ,\zeta _{n}^{\nu _{n}})$, ha $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$, és $|\nu |=\nu _{1}+\ldots +\nu _{n}$. A Tate-algebra elemeit megszorított vagy szigorúan konvergens hatványsoroknak is nevezik. A szigorúan konvergens hatványsorok megfelelői a komplex analízisben az analitikus függvények, azaz azok a függvények, amik megadhatók konvergens hatványsorral.

A Tate-algebra Banach-algebra a következő módon definiált Gauss-normára nézve:

$\left|\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\nu }\zeta ^{\nu }\right|=\max _{\nu }|c_{\nu }|$

Legyen f a $K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle$ Tate-algebra egy eleme. Ekkor f felírható olyan hatványsorként $\zeta _{n}$ változóval, aminek együtthatói $n-1$ változós megszorított hatványsorok, azaz

$f=\sum _{\nu =0}^{\infty }f_{\nu }\zeta _{n}^{\nu }$,

ahol $f_{\nu }\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle$. Az f megszorított hatványsort s rendű $\zeta _{n}$-kitüntetettnek nevezzük, ha van olyan $s\geq 0$, hogy $f_{s}\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle ^{\times }$ egy egység, $|f_{s}|=|f|$, és minden $\nu >s$-re $|f_{s}|>|f_{\nu }|$.

A Tate-algebrák Weierstrass-maradékososztási tétele a következő:

Legyen $g\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle$ s rendű $\zeta _{n}$-kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor minden $f\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle$ megszorított hatványsorra létezik egy egyértelmű $q\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle$ megszorított hatványsor és egy egyértelmű $r\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle [\zeta _{n}]$ megszorított hatványsor együtthatós legfeljebb $s-1$-edfokú polinom, hogy

$f=gq+r$.

Ekkor $|f|=\max(|q|\cdot |g|,|r|)$.

A megfelelő Weierstrass-előkészítésitétel pedig a következő:

Legyen $g\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle$ s rendű $\zeta _{n}$-kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor létezik egy egyértelmű egy főegyütthatójú $\omega \in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle [\zeta _{n}]$ s-edfokú polinom és egy $e\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle ^{\times }$ egység, hogy

$f=e\omega$.

Ekkor $|\omega |=1$, így $\omega$ s rendű $\zeta _{n}$-kitüntetett.

Teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok

Kommutatív gyűrűk

Legyen ${\mathcal {O}}$ egy teljes kommutatív lokális Noether-gyűrű ${\mathfrak {m}}$ maximális ideállal és és pozitív p karakterisztikájú ${\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ maradéktesttel. Ilyen ${\mathcal {O}}$ például a p-adikus egészek $\mathbb {Z} _{p}$ gyűrűje, vagy általánosabban az egészek gyűrűje a p-adikus számok $\mathbb {Q} _{p}$ testének valamely véges bővítésében.

Legyen továbbá $\Lambda ={\mathcal {O}}[[T]]$ az ${\mathcal {O}}$ feletti egyváltozós hatványsorok gyűrűje.

A Weierstrass-maradékososztási tétel ebben az esetben a következő:

Legyenek $f,g\in \Lambda$ hatványsorok úgy, hogy $g\notin {\mathfrak {m}}\Lambda$, és legyen n a legnagyobb olyan egész szám, amire $g\in {\mathfrak {m}}\Lambda +T^{n}\Lambda$. Ekkor egyértelmű létezik olyan $q\in \Lambda$ hatványsor és $r\in {\mathcal {O}}[T]$ legfeljebb $n-1$ fokú polinom, hogy

$f=gq+r$.

A $\Lambda$ gyűrűben egy polinomot kitüntetettnek nevezünk, ha 1 főegyütthatójú és minden további együtthatója ${\mathfrak {m}}$-ben van.

A Weierstrass-előkészítésitétel a következő:

Legyen $f\in \Lambda -{\mathfrak {m}}\Lambda$. Ekkor egyértelműen létezik egy g kitüntetett polinom és egy $u\in \Lambda ^{\times }$ egység úgy, hogy

$f=gu$.

Speciálisan ha ${\mathfrak {m}}=\pi \Lambda$ egy főideál, akkor bármely $f\in \Lambda$ egyértelműen felírható

$f=\pi ^{\mu }gu$

szorzatként, ahol g és u a fenti feltételeket teljesítik.

A Weierstrass-maradékososztás gyengébb az euklideszi algoritmusnál, mert g nem választható a gyűrű tetszőleges nemnulla elemének. Ugyanakkor analógiában azzal, hogy bármely euklideszi gyűrű alaptételes, igaz a következő:

Ha ${\mathcal {O}}$ főideálgyűrű, akkor $\Lambda$ alaptételes.

Az ${\mathcal {O}}[[T]]$ alakú gyűrűk fontos szerepet játszanak az Iwasawa-elméletben, ahol ezeket (más hasonló gyűrűkkel együtt) Iwasawa-algebráknak nevezik. Az Iwasawa-elmélet alapvető fontosságú tétele az Iwasawa-algebrák feletti végesen generált modulusok struktúratétele. Ez a főiedálgyűrű feletti végesen generált modulusok struktúratételéhez hasonló állítás, és a bizonyítása is jelentős részben hasonlít a főidelgyűrűk feletti állításéra. A bizonyításban szerepet játszik a Weierstrass-maradékososztás is.

Nemkommutatív gyűrűk

Kommutatív gyűrű feletti formális hatványsorok helyett vizsgálható egy nemkommutatív gyűrű feletti ferde hatványsorok gyűrűje is. Ennek definíciója a következő. Legyen R egy nem feltétlenül kommutatív gyűrű, $\sigma :R\to R$ egy endomorfizmus, $\delta :R\to R$ pedig egy $\sigma$-deriválás, azaz egy olyan csoporthomomorfizmus, amire

$\delta (rs)=\delta (r)s+\sigma (r)\delta (s)$ minden $r,s\in R$-re.

Az R feletti ferde formális hatványsorok $R[[X;\sigma ,\delta ]]$ gyűrűje mint halmaz a formális hatványsorok $R[[X]]$ gyűrűjéből áll, az összeadás tagonként történik, a szorzás pedig az

$Xr=\sigma (r)X+\delta (r)$

szabály szerint. Könnyen látható, hogy ha $\sigma$ az identitás, $\delta$ pedig azonosan nulla, akkor $R[[X;\sigma ,\delta ]]=R[[X]]$.

Ha R egy nem feltétlenül kommutatív lokális gyűrű, ami Hausdorff és teljes a maximális ideál által meghatározott topológiára nézve, akkor az R feletti ferde formális hatványsorok gyűrűjére általánosíthatók a kommutatív eset Weierstrass-maradékososztási és -előkészítési tételek.

Források

• ↑ Bosch: Siegfried Bosch. Lectures on Formal and Rigid Geometry. Heidelberg: Springer, 12–24. o. (2014). ISBN 978-3-319-04417-0. Hozzáférés ideje: 2022. január 27. 
• ↑ EoM: E.D. Solomentsev: Weierstrass theorem (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. Springer. (Hozzáférés: 2022. január 30.)
• ↑ Sharifi: Romyar Sharifi: Iwasawa Theory. (Hozzáférés: 2022. január 29.)
• ↑ Venjakob: Otmar Venjakob. „A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory”. J. reine angew. Math. 2003 (559), 153–191. o. DOI:10.1515/crll.2003.047. (Hozzáférés: 2022. január 27.)  
• ↑ Washington: Lawrence C. Washington. Introduction to Cyclotomic Fields, 2., New York: Springer, 113–117, 269–277. o. (1997)