Görbe vonalú koordináta-rendszer

A görbe vonalú koordináta-rendszerek az $E^{n}$ euklideszi tér koordináta-rendszerei, melynek koordinátavonalai diffeomorfak a Descartes-féle koordináta-rendszer koordinátavonalaival. Ez azt jelenti, hogy a megfeleltetés lokálisan egy-egyértelmű, és a megfeleltetés, valamint az inverz megfeleltetés is differenciálható. Tehát nem lehet például szakadás vagy töréspont a koordináta-vonalakon.

Görbe vonalú, affin és Descartes-féle koordináták

A leggyakrabban alkalmazott görbe vonalú koordináta-rendszerek:

• a Descartes-féle koordináta-rendszer
• a polárkoordináta-rendszer
• a hengerkoordináta-rendszer
• a gömbkoordináták

A szóban forgó feladattól függően egy megfelelően választott görbe vonalú koordináta-rendszerben a számítások egyszerűbbek lehetnek, mint a Descartes-koordináta-rendszerben. Például a sugaras szimmetriájú feladatokhoz célszerűbb lehet a gömbkoordináták választása.

A következők elsősorban a háromdimenziós térre vonatkoztathatók, ám nagy részük általánosítható más dimenziókra is.

A Descartes-koordináták transzformációja

Egy $n$-dimenziós tér egy pontjának koordinátái egy valós számokból álló $n$-es, amely a pontot a koordináta-rendszer erejéig határozza meg.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben az $x_{i}$ koordináták felírhatók az új $u_{i}$ koordináták folytonosan differenciálható függvényeként:

$x_{1}=x_{1}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)\$,     $x_{2}=x_{2}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)\$,   …   $x_{n}=x_{n}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)$

Ez egy egyenletrendszer, ami invertálható, tehát megoldható az $u_{i}$ koordinátákra:

$u_{1}=u_{1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\$,     $u_{2}=u_{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\$,   …   $u_{n}=u_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$

ha az inverz funkcionáldetermináns nem nulla vagy végtelen:

$\det \left({\underline {\underline {J}}}^{-1}\right)=\det {\frac {\partial (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}{\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}}\neq 0$.

Az inverz transzformációnak is folytonosan differenciálhatónak kell lennie.

A transzformáció reguláris azokban a pontokban, melyeknek egyértelmű a megfeleltetése. A többi pontban szinguláris. Ekkor teljesül, hogy ha egy $P$ pont adott az $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ Descartes-koordinátákkal, akkor az inverz transzformációkkal egyértelműen kiszámíthatók a $P$ pont $(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ görbe vonalú koordinátái. A tér minden reguláris pontja egyértelműen leírható az $\{x_{i}\}$ Descartes-koordinátákkal és ekvivalensen, az $\{u_{i}\}$ görbe vonalú koordinátákkal.

Egy transzformációegyenletekre vonatkozó tétel szerint a fent leírtak alapján a Descartes-féle koordináta-rendszerrel együtt definiálható egy görbe vonalú koordináta-rendszer.

Koordinátavonalak, -felületek és tengelyek

Itt u_i helyett q_i: koordinátavonalak, -felületek és tengelyek (egy kiválasztott hely bázisvektorai szerint)

A gömbkoordináta-rendszer koordinátavonalai, -felületei és tengelyei. Felületek: r – gömbök, θ – kúpok, φ – félsíkok; Vonalak: r – egyenes sugarak, θ – vertikális félkörök, φ – horizontális körök; Tengelyek: r – egyenes sugarak, θ – érintők a vertikális félkörökhöz, φ – érintők a horizontális körökhöz

Ebben a szakaszban a háromdimenziós térben szemléltetjük a koordinátavonalakat, -felületeket és tengelyeket.

A koordinátafelületek megkaphatók egy koordináta rögzítésével és a többi változtatásával:

${\vec {r}}_{ij}(\alpha ,\beta )={\vec {r}}\,(u_{i}=\alpha ,u_{j}=\beta ,u_{k}={\text{const}})$   ahol   $i\neq j\neq k\neq i$

Minden nem szinguláris ponton át az $u_{k}={\text{const}}$ felületsereg egy tagja halad át.

A koordinátavonalak úgy kaphatók, hogy két koordinátát rögzítünk, azaz $u_{i}={\text{const}},\ u_{j}={\text{const}}$ ahol $i\neq j$, és a harmadik koordináta fut:

${\vec {r}}_{k}(\gamma )={\vec {r}}\,(u_{i}={\text{const}},u_{j}={\text{const}},u_{k}=\gamma )$   ahol   $i\neq j\neq k\neq i$

A fenti feltétel azt jelenti a funkcionáldetermináns számára, hogy a háromdimenziós tér minden pontján át három koordinátavonalnak kell áthaladnia, különben a pont nem reguláris.

Például a gömbkoordináták esetén a $z$-tengely pontjaiban az összes $\varphi ={\text{const}}$ sík metszi egymást (ahol $\varphi$ az azimut). Így a $z$-tengely pontjainak koordinátái nem egyértelműek: $z=r\cos \vartheta$, de $\phi$ tetszőleges.

Ha a különböző koordinátavonalak derékszögben metszik egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális.

A koordinátatengelyeket a koordinátavonalak érintőiként definiáljuk. Ez a Descartes-féle koordináta-rendszertől és az affin koordináta-rendszerektől különböző koordináta-rendszerekben azt jelenti, hogy a tengelyek függnek a helytől. Emiatt helyi koordinátákról beszélünk.

Különböző bázisok

Egy vektor koordinátákkal való ábrázolásához bázisra van szükség. Ehhez egy $n$-dimenziós térben $n$ független vektorra van szükség. Egy ilyen bázissal a tér bármely vektora előállítható lineáris kombinációként, ahol is a kombináció együtthatói a vektor koordinátái.

Csak egyenesvonalú esetben állandóak a bázisvektorok; valóban görbe vonalú koordináta-rendszer esetén a bázis, így a koordináták is függenek a helytől. Emiatt ezeket a bázisokat helyi bázisoknak nevezik. Mind a bázisvektorok, mind a koordináták helyfüggők. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben a bázis globális, azaz nem függ a helytől. A helytől kizárólag a koordináták függnek.

Helyi bázis előállítására két módszer létezik:

• kovariáns bázis
• kontravariáns bázis

A két bázis reciprok, illetve duális egymással. Holonóm bázisoknak is nevezik őket. Különböznek abban, hogyan transzformálódnak koordinátaváltáskor – a két transzformáció inverze egymásnak.

Az adott sokaság minden pontjában egyidejűleg létezik mindkét bázis. Így egy tetszőleges vektor ábrázolható egyikben vagy másikban. Az $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordinátákat kombinálják a kovariáns ${\vec {b}}_{u_{i}}$ bázisvektorokkal, és az $a_{u_{i}}^{\,*}$ kovariáns koordinátákat a kontravariáns ${\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$ bázisvektorokkal.

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

Ez a keresztbe párosítás biztosítja, hogy ${\vec {a}}$ vektor a koordinátatranszformáció során invariáns maradjon, mivel a bázis és a koordináták inverz módon transzformálódnak, így kölcsönösen kiegyenlítik egymást. A fizikában a vektorok ezen tulajdonsága alapvető, mivel a fizika törvényeinek a koordináta-rendszer választásától függetlennek kell lenniük. Ilyen például egy részecske sebessége.

Egy vektor (koordinátavektor) kontravariáns, ha a koordináták kontravariánsak, és a bázis kovariáns. Egy vektor (koordinátavektor) kovariáns, ha a koordináták kovariánsak, és a bázis kontravariáns.

Kovariáns bázis

Egy v vektor (pirossal) • egy vektorbázisban (sárgával, balra: e₁, e₂, e₃), érintővektorok a koordinátagörbékhez (feketével) és • egy kovektor bázisban vagy kobázisban (kékkel, jobbra: e¹, e², e³), normálvektorok a koordinátafelületekhez (szürkével) általános (nem feltétlenül ortogonális) görbe vonalú (q¹, q², q³) koordinátákban. A bázis és a kobázis nem egyezik, kivéve, ha a rendszer ortogonális

A kovariáns bázis vektorai minden pontban érintőlegesek valamelyik koordinátavonalhoz.

Normált és természetes bázis

A koordinátavonalak érintő-egységvektorai bázist alkotnak, ami kovariáns bázisvektorokból áll:

${\vec {e}}_{u_{i}}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}\right|}}$

Ezek az egységvektorok a helytől függően fordulnak ${\vec {e}}_{u_{i}}={\vec {e}}_{u_{i}}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)$ irányba.

A $h_{u_{i}}$ skálázási tényezők definíciója:

$h_{u_{i}}:=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}\right|$,   így $\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}$

A nem normált vektorok alkotják a természetes bázist, amiből a normálással a normált bázis nyerhető. Itt a természetes bázis vektorait ${\vec {b}}_{u_{i}}$ jelöli, a normált bázis vektorait pedig ${\vec {e}}_{u_{i}}$.

${\vec {b}}_{u_{i}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}=h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}$

Kontravariáns koordináták

Az új bázisokkal az összes ${\vec {a}}$ vektor kifejezhető a normált kovariáns ${\vec {e}}_{u_{i}}$ bázisban, illetve a ${\vec {b}}_{u_{i}}$ természetes bázisban:

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}}\quad {\text{ahol}}\quad {\tilde {a}}_{u_{i}}={\frac {a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}},\quad {\vec {b}}_{u_{i}}=h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}$

ahol $a_{u_{i}}$ illetve ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ kontravariáns koordináták, melyek iránya az $u_{i}$-koordinátavonal felé mutat; $a_{u_{i}}$ a normált, ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ a természetes bázisban. A tenzoranalízisben a ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ koordinátákat felső $a^{i}$ indexszel jelölik. Ez nem hatványozást jelent.

Egy ${a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}={{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}}$ vektorkoordináta hossza megfelel a normált bázisban a $a_{u_{i}}$ koordináta abszolútértékének, a természetes bázisban pedig az ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ koordináta abszolútértékének és a ${\vec {b}}_{u_{i}}$ vektorhossz szorzatának:

$|a_{u_{i}}|=|a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}|\,|{\vec {b}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}|\,|h_{u_{i}}|$

Ha a vektor fizikai mennyiséget jelöl, akkor a természetes bázis hossza tartalmazhat mértékegységet is, ami így összeszorzódik a koordinátákkal. Ez körülményes lehet. Normált bázis esetén azonban a mértékegység teljes egészében a koordinátán múlik. Ezért az $a_{u_{i}}$ koordináták fizikai koordináták, és a normált ${\vec {e}}_{u_{i}}$ bázisvektorok fizikai bázisvektorok.

Megkülönböztetésként az ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ koordináták holonóm koordináták, és a természetes ${\vec {b}}_{u_{i}}$ bázisvektorok holonóm bázisvektorok.

A bázisvektorok és koordináták viselkedése a transzformáció során, Jacobi-mátrix

Helyi kovariáns bázis transzformációja általános görbe vonalú koordináták esetén

A természetes bázisvektorok definíciójából következően az $\{u_{i}\}$ koordináták transzformációja $\{x_{i}\}$ koordinátákká adódik a képlet:

${\vec {b}}_{u_{k}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{j}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}$

A természetes bázisvektorok egyszerűen viselkednek a transzformáció során. Normált bázis esetén a $h_{u_{i}}$ skálázási tényezőkkel is számolni kell:

${\vec {b}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}\quad \Longrightarrow \quad h_{u_{k}}{\vec {e}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}$

Egy tetszőleges ${\vec {a}}$ vektor kifejezhető mjnd a régi, mind az új bázisban:

${\vec {a}}=\sum _{i}a_{x_{i}}{\vec {e}}_{x_{i}}=\sum _{i,k}a_{x_{i}}\delta _{ik}{\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{i,j,k}a_{x_{i}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial u_{j}}}{\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{i,j}a_{x_{i}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\vec {b}}_{u_{j}}=\sum _{j}{\tilde {a}}_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{j}}$

Így kapható a koordináták viselkedése a transzformáció során:

${\tilde {a}}_{u_{i}}=\sum _{j}a_{x_{j}}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}}=\sum _{j}a_{x_{j}}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}$

Míg a kovariáns vektorok esetén a $J_{kj}={\tfrac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}$ Jacobi-mátrixszal végezhető, a kontravariáns koordináták transzformációjához a Jacobi-mátrix $J_{kj}^{-1}={\tfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}$ inverzét kell alkalmazni.

A tenzoranalízisben a vektorok viselkedését a fenti transzformációs viselkedéssel definiálják. Maga a ${\vec {r}}$ helyvektor nem vektor, de a $\textstyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i}{\vec {b}}_{u_{i}}\mathrm {d} u_{i}$ helyvektor-differenciál már igen.

A Descartes-féle koordináták transzformációjának Jacobi-mátrixa megegyezik azzal a mátrixszal, melyben a természetes bázis oszlopvektorokként szerepel:

${\underline {\underline {J}}}={\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{\partial (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}}=\left({\begin{array}{cccc}\partial x_{1}/\partial u_{1}&\partial x_{1}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{1}/\partial u_{n}\\\partial x_{2}/\partial u_{1}&\partial x_{2}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{2}/\partial u_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\partial x_{n}/\partial u_{1}&\partial x_{n}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{n}/\partial u_{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}|&|&&|\\{\vec {b}}_{u_{1}}&{\vec {b}}_{u_{2}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{n}}\\|&|&&|\end{array}}\right)\equiv [{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]$

Az inverz funkcionáldeterminánsra vonatkozó $\det \left({\underline {\underline {J}}}^{-1}\right)\neq 0$ feltétel a következő kapcsolattal jellemezhető:

${\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}{\vec {b}}_{u_{j}}=\sum _{j}(J^{-1})_{kj}{\vec {b}}_{u_{j}}$

Ez megfelel az ${\vec {b}}={\underline {\underline {A}}}{\vec {v}}$ inhomogén lineáris egyenletrendszernek a ${\vec {v}}$-re. A ${\vec {v}}$ koordinátái tartalmazzák a $\{{\vec {b}}_{u_{j}}\}$ görbe vonalú bázisvektorok koordinátáit. Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a ${\underline {\underline {A}}}$ mátrix magja nulladimenziós, azaz az oszlop- illetve sorvektorok lineárisan függetlenek. Ez ekvivalens azzal, hogy a $\det {\underline {\underline {A}}}$ mátrix determinánsa nullától különbözik. Ez egyértelműen meghatározza az ismeretleneket, azaz minden ponthoz egy, és csak egy $\{{\vec {b}}_{u_{j}}\}$ bázis létezik.

A duális $\{{\vec {b}}_{u_{i}}^{*}\}$ bázis hasonlóan megfeleltethető a fenti mátrix inverzének.

Metrikus tenzor és Gram-determináns

A természetes bázisvektorok skalárszorzatai definiálják a $g$ metrikus tenzor komponenseit:

$g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\cos \!\left(\sphericalangle ({\vec {e}}_{u_{i}},{\vec {e}}_{u_{j}})\right)$

Vegyük észre, hogy a metrikus tenzor a skaláris szorzás kommutativitás miatt szimmetrikus:

$g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}={\vec {b}}_{u_{j}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=g_{ji}$

Emiatt a metrikus tenzornak $N(N+1)/2$ független komponense van, és nem $N^{2}$. Három dimenzióban a független elemek száma 6.

A metrikus tenzor írható, mint a Jacobi-mátrix és transzponáltjának szorzata:

${\underline {\underline {g}}}={\underline {\underline {J}}}^{T}{\underline {\underline {J}}}=[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]^{T}[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]=\left({\begin{array}{ccc}{\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{1}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{n}}\\\vdots &&\vdots \\{\vec {b}}_{u_{n}}\cdot {\vec {b}}_{u_{1}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{n}}\cdot {\vec {b}}_{u_{n}}\end{array}}\right)$

A $g_{ij}$ mennyiségek metrikus együtthatók, melyek segítségével kiszámítható egy vektor hossza a $\{{\tilde {a}}_{u_{i}}\}$ kontravariáns koordinátákból. Ehhez kellenek a skálázási tényezők.

A $h_{u_{i}}$ skálázási tényezőket a $g_{ii}$ átlós elemek adják meg, mivel $|{\vec {b}}_{u_{i}}|={\sqrt {{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}}}$:

$h_{u_{i}}={\sqrt {g_{ii}}}$

A metrikus tenzor determinánsa a $g$ Gram-determináns:

$\det {\underline {\underline {g}}}=g$

$g=\det(J^{T}J)=\det J^{T}\det J=(\det J)^{2}$ következménye, hogy a Jacobi-mátrix determinánsa abszolútértékének meg kell egyeznie a Gram-determináns négyzetgyökével. Másként,

$\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]\equiv \det J=\pm {\sqrt {g}}$,

ahol az előjel a bázis irányításától függ. A normált bázisvektorokból alkotott determináns a multilinearitás miatt adja, hogy:

$\det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {e}}_{u_{n}}]=\det[h_{u_{1}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{1}},h_{u_{2}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,h_{u_{n}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{n}}]={\frac {\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}}={\frac {\pm {\sqrt {g}}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}}$

A metrikus tenzor $g^{ij}$ inverzére teljesül a Cramer-szabály miatt, hogy:

$g^{ij}:=(g^{-1})_{ij}={\frac {A^{ij}}{g}}$

ahol $A^{ij}$ az adjungált és $g$ a Gram-determináns. A kifejtési tételből következik, hogy:

$g:=\det {\underline {\underline {g}}}=\sum _{i,j}g_{ij}A^{ji}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=A^{ji}$

és az inverz metrikus tenzorra:

$g^{ij}={\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial g_{ji}}}$

Ortogonális koordináta-rendszerek

Ha az $n$-dimenziós térben minden nem szinguláris pontban az $n$ koordinátavonal mindegyike merőlegesen metszi egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális. Ekkor az ${\vec {e}}_{u_{i}}$ vektorok az $\mathbb {R} ^{n}$ tér ortonormált bázist alkotnak:

${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$,   $i,j=1,2,\ldots ,n$   ($\delta :\$Kronecker-delta)

A természetes bázisvektorokra:

$g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\delta _{ij}=h_{u_{i}}^{2}\delta _{ij}$

Így az ortogonális bázisvektorok esetén a metrikus tenzor diagonális:

${\underline {\underline {g}}}=\left({\begin{array}{cccc}h_{u_{1}}^{2}&0&\ldots &0\\0&h_{u_{2}}^{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &h_{u_{3}}^{2}\end{array}}\right)$

Az inverz metrikus tenzor ortognális koordináták esetén:

$(g^{-1})_{ij}\equiv g^{ij}=h_{u_{i}}^{-2}\delta _{ij}$

${\underline {\underline {g}}}^{-1}=\left({\begin{array}{cccc}1/h_{u_{1}}^{2}&0&\ldots &0\\0&1/h_{u_{2}}^{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &1/h_{u_{n}}^{2}\end{array}}\right)$

A Gram-determináns is egyszerűbb:

$g=h_{u_{1}}^{2}h_{u_{2}}^{2}\cdots h_{u_{n}}^{2}$

A természetes, illetve normált bázisvektorok esetén a determináns:

$\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]={\sqrt {g}}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{3}}\quad \iff \quad \det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {e}}_{u_{n}}]=1$

Háromdimenziós tér

Ha az ortonormált bázis jobbkezes, akkor teljesülnek a következők:

${\vec {e}}_{u_{i}}\times {\vec {e}}_{u_{j}}=\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}$,   $i,j,k=1,2,3$   ($\varepsilon$: Levi-Civita-szimbólum)

Bővebben:

${\begin{aligned}{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}&={\vec {e}}_{u_{3}}\quad &{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}&={\vec {e}}_{u_{1}}\quad &{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}&={\vec {e}}_{u_{2}}\\{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}&=-{\vec {e}}_{u_{3}}&{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}&=-{\vec {e}}_{u_{1}}&{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}&=-{\vec {e}}_{u_{2}}\end{aligned}}$

Egyenes vonalú koordináta-rendszerek

Általában a görbe vonalú koordináta-rendszerekben nincs globális bázis, mivel a koordinátavonalak nem egyenesek. Globális bázis csak abban a speciális esetben létezik, hogyha a koordinátavonalak egyenesek. Ekkor a koordinátafelületek síkok, seregeik párhuzamos síkseregeket alkotnak. Ekkor a transzformációs egyenletek így alakulnak:

$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}u_{j}+b_{i}\quad \iff \quad J_{ij}\equiv {\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{j}}}=A_{ij}$

ahol $A_{ij}$ és $b_{i}$ konstansok. A $J$ Jacobi-mátrix megfelel az $A$ transzformációs mátrixnak. Így a ${\vec {b}}_{u_{i}}$ természetes egységvektorok alkotják az $A$ mátrix $i$-edik oszlopát.

Duális bázis: kontravariáns bázis

A kontravariőns bázisvektorok minden pontban merőlegesek a megfelelő koordinátafelületekre. Duálisak a kovariáns bázisvektorokra. Egy vektor kontravariáns komponensei megkaphatók a kontravariáns bázisvektorokra való vetítéssel.

Ortogonális koordináták

A ${\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}}$ vektor $a_{u_{i}}$ kontraviariáns koordinátái egy ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$ ortonormált bázis számára megkaphatók vetítéssel:

${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta _{ij}}=a_{u_{i}}$

Nem derékszögű koordináta-rendszerekben egy vektor egy kovariáns koordinátája megkapható a ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {a}}$ vetítéssel a megfelelő kovariáns koordinátára. Ez nem a $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordináta, mivel nem teljesül a ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$ reláció, azaz a metrikus tenzor nem diagonális. Ehhez szükség van a duális tér és a duális bázis fogalmára.

Duális tér és duális bázis

Az érintővektorok $V$ vektorterének duális $V^{*}$ tere azokból a lineáris funkcionálokból áll, amelyek a vektorokat az alattuk levő testre képezik le: $f\colon \ V\rightarrow K,\ {\vec {v}}\mapsto f[{\vec {v}}]$. A $V^{*}$ duális tér egy bázisát alkotják a $V$-hez duális bázisvektorok. A duális bázisvektorokat úgy definiálják, hogy ${\vec {e}}_{i}^{\,*}[{\vec {e}}_{j}]=\delta _{ij}$.

Definiáljuk továbbá a következő bilineáris formát: $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \ V^{*}\times V\rightarrow K,\ \langle f,{\vec {v}}\rangle =f[{\vec {v}}]$. Ez az úgynevezett duális párosítás. Így a ${\vec {e}}_{i}^{\,*}\in V^{\,*}$ duális bázisvektorok hatása a ${\vec {e}}_{j}\in V$ bázisvektorokra:

$\langle {\vec {e}}_{i}^{\,*},{\vec {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}$

Véges dimenziós $V$ tér esetén $V^{*}$ izomorf $V$-hez, azaz $V\cong V^{\,*}$. Az $E^{n}$ euklideszi térben (ami $\mathbb {R} ^{n}$ skalárszorzattal ellátva) a duális párosítás azonosítható az

$\langle {\vec {w}}^{\,*},{\vec {v}}\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{\,*}\,v_{i}\equiv {\vec {w}}^{\,*}\cdot {\vec {v}}={\vec {w}}{\underline {\underline {g}}}{\vec {v}}$

skalárszorzattal, így a duális vektorok azonosíthatók vektorokként. Itt $K=\mathbb {R}$ és $V=\mathbb {R} ^{n}$ illetve $V^{\,*}=\mathbb {R} ^{n}$.

Duális bázis

A duális bázist úgy definiálják, hogy a ${\vec {e}}_{u_{j}}$ (kovariáns bázisvektorok) és a ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ (kontravariáns bázisvektorok, jelen esetben ${\vec {e}}_{u_{j}}$ normált bázisvektorok) skaláris szorzata:

${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}\quad {\text{ahol}}\quad {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}\ ,\quad {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$.

legyen. Hasonlóan, a ${\vec {b}}_{u_{j}}$ természetes bázisvektorokra és ${\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}$ duális bázisvektoraikra:

${\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$.

A ${\vec {b}}_{u_{j}}$ természetes bázisvektorokra és ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ duális bázisvektoraikra mátrixjelöléssel:

$[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]={\underline {\underline {E}}}$

Mivel a kovariáns bázisvektorokból, mint oszlopokból alkotott Jacobi-mátrix megfelel annak, hogy ${\underline {\underline {J}}}=[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]$, azért a kontravariáns vektorokból, mint sorvektorokból alkotott mátrixnak az inverz Jacobi-mátrixnak kell lennie:

${\underline {\underline {J}}}^{-1}=[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}$

Tehát a duális bázisvektorok megkaphatók a Jacobi-mátrix invertálásával.

A kontravariáns bázisvektorok Gram-determinánsa megegyezik a kovariáns bázisvektorokból alkotott mátrix determinánsának inverzével:

$\det[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}=\det(J^{-1})={\frac {1}{\det(J)}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}$

Kovariáns komponensek

Az új bázisban az összes ${\vec {a}}$ kifejezhető a ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ (normált), illetve a természetes ${\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}$ bázisban:

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}^{\ *}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}}\quad {\text{ahol}}\quad {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}a_{u_{i}}^{\ *},\quad {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$

Itt $a_{u_{i}}^{\ *}$ illetve ${\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}$ kovariáns vektorkomponensek, ami a $a_{u_{i}}^{\ *}$ illetve ${\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}$ koordinátafelületek normálisának irányába mutat. A tenzoranalízisben ${\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}$ indexeit alsó indexbe írják.

A koordináták mint a bázivektorokra vett vetületek

Egy ${\vec {a}}=\sum _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}}$ vektor $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordinátáját az ${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}$ bázisvektorra vett vetítéssel kaphatjuk; ez a kontravariáns bázis, a tenzoranalízisben felső indexet használva (${\vec {e}}^{i}$):

${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta _{ij}}=a_{u_{i}}$

Ortonormális bázisvektorok esetén a ko- és kontravariáns bázisvektorok megegyezne, így a ko- és kontravariáns koordináták is.

Általában, egy tetszőleges vektor ábrázolható ko- és kontravariáns bázisban:

${\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

Így a kontravariáns bázis a kovariáns koordinátákkal, és a kovariáns bázis a kontravariáns koordinátákkal kombinálódik. Ez a tulajdonság megőrzi a vektorokat a koordináta-rendszer megváltoztatásakor.

Mindkét oldalt megszorozva ${\vec {b}}_{u_{j}}$-vel kapjuk, hogy:

$\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}} _{g_{ij}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}} _{\delta _{ij}}\quad \Rightarrow \quad a_{u_{j}}^{\,*}=\sum \limits _{i=1}^{n}g_{ij}a_{u_{i}}\quad \Rightarrow \quad a_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}g_{ij}^{-1}a_{u_{j}}^{\,*}$

Így a $g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}$ metrikus tenzorok és $g_{ij}^{-1}={\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}$ inverzük segítségével az $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordináták átvihetők a $a_{u_{j}}^{\,*}$ kovariáns koordinátákba és vissza. A tenzorok nyelvén: az index emelhető és süllyeszthető.

Ortogonális koordináták

Ortogonális koordináta-rendszerekben egybeesnek a bázisvektorok és a duális bázisvektorok normáltjai. Ez a természetes bázisokra azt jelenti, hogy a megfelelő bázisvektorok párhuzamosak, és egy $h_{u_{i}}^{2}$ faktorszorosa az egyik a másiknak:

${\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}={\vec {e}}_{u_{i}}\quad \iff \quad h_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {b}}_{u_{i}}\equiv {\vec {e}}_{u_{i}}$

Normált bázisok esetén a koordináták megegyeznek:

$a_{u_{i}}^{\ *}=a_{u_{i}}\quad \iff \quad {\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}{\tilde {a}}_{u_{i}}\equiv a_{u_{i}}$

Három dimenzióban

Három dimenzióban a duális bázisvektorok kifejezhetők a bázisvektorok vektorszorzatát elosztva a bázisvektorok $\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})$ illetve $\det({\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}})={\sqrt {g}}$ vegyes szorzatával:

${\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}\ ,\quad \quad {\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}\ ,\quad \quad {\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}$

Kompaktabban, a normált bázisvektorokkal:

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{i}}\times {\vec {e}}_{u_{j}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}$

és a természetes bázisvektorokkal:

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{k}}^{\,*}={\frac {{\vec {b}}_{u_{i}}\times {\vec {b}}_{u_{j}}}{\sqrt {g}}}$

Míg a (kovariáns) bázisvektorok érintik a koordinátavonalakat, addig a (kontravariáns) duális bázis vektorai merőlegesek a koordinátafelületekre. Például, ha ${\vec {e}}_{u_{2}}$ és ${\vec {e}}_{u_{3}}$ része egy koordinátafelületnek, akkor erre az ${\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*}$ merőleges.

Megfordítva, a kontravariáns bázisvektorokkal hasonlóan kifejezhetők a kovariáns bázisvektorok. Tehát a vektorszorzatot elosztjuk a $\det({\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *})=1/{\sqrt {g}}$ illetve $\det({\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*})$ vegyes szorzattal:

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}={\frac {{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}\times {\vec {e}}_{u_{j}}^{\,*}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*})}}=\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})\,{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}\times {\vec {e}}_{u_{j}}^{\,*}$

$\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{k}}={\frac {{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}}{\det({\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *})}}=\det({\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}}){\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}={\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}$

Ha a kovariáns vektorok jobbsodrású bázist alkotnak, akkor a kontravariáns bázisvektorok is jobbsodratú koordináta-rendszert alkotnak. A két determináns szorzatának ugyanis egynek kell lennie.

Tenzorok

Egy $n$-fokú tenzor kifejezhető $n$- vektor tenzorszorzataként:

${\vec {v}}_{1}\otimes {\vec {v}}_{2}\otimes \ldots \otimes {\vec {v}}_{n}$

A tenzorszorzás nem kommutatív, így a vektorok sorrendje nem cserélhető fel. Az $\{u_{i}\}$ skalárok az alaptest elemei, tehát $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, melyek koordinátatranszformáció során nem változtatnak értéket: $\phi (u_{i})={\tilde {\phi }}({\tilde {u}}_{i})$. A skalárok nulladfokú, a vektorok elsőfokú tenzorok.

A vektorok kétfélék lehetnek, ko- és kontravariáns módon ábrázolhatók, ami $n$-edfokú tenzorok számára $2^{n}$ lehetőséget biztosít. A vektorokkal történő ábrázolással a vektorok tulajdonságait a tenzorok is öröklik. Így például metrikus tenzorokkal az indexek emelhetők és süllyeszthetők, azaz a ko- és kontravariáns ábrázolások egymásba átvihetők. Az indexek emelésével és süllyesztésével egymásból kapható tenzorok egymás asszociáltjai. A tenzorok átveszik a vektorok transzformációval szembeni viselkedését, így a kovariáns részek úgy transzformálódnak, mint a kovariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrixszal, és a kontravariáns részek úgy, mint a kontravariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrix inverzével.

Másodfokú tenzorok

Egy másodfokú tenzor négyféleképpen ábrázolható:

${\underline {\underline {T}}}={\vec {v}}\otimes {\vec {w}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}$

A négy eset: (tiszta) kontravariáns, (tiszta) kovariáns, kontra-kovaráns, ko-kovariáns.

Az egységtenzor, melyet az ${\underline {\underline {I}}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$ egyenlőség definiál:

${\underline {\underline {I}}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}g_{ij}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}g^{ij}\,{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}$

Skalárszorzat

Két vektor skalárszorzata:

${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=\sum \limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{i}}^{\,*}=\sum \limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{i}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}g^{ij}w_{u_{j}}^{\,*}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}g_{ij}w_{u_{j}}$

Ez megfelel a ${\vec {v}}\otimes {\vec {w}}$ másodfokú tenzor kontrakciójának egy nulladfokú tenzorra.

Harmadfokú tenzorok

Egy harmadfokú tenzor nyolcféleképpen ábrázolható:

${\underline {\underline {\underline {T}}}}={\vec {a}}\otimes {\vec {b}}\otimes {\vec {c}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}=\ldots =\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}b_{u_{j}}^{\,*}c_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}$

Három dimenzióban a teljesen antiszimmetrikus tenzor adódik, mint:

Az első reláció a Descartes-féle írásmód, a következő kettő pedig a görbe vonalú tenzorverzió leírásai közül kettő.

${\underline {\underline {\underline {\mathcal {E}}}}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{x_{i}}\otimes {\vec {e}}_{x_{j}}\otimes {\vec {e}}_{x_{k}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}{\mathcal {E}}_{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}=\ldots =\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}{\mathcal {E}}^{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}$

$\epsilon _{ijk}=\det[{\vec {e}}_{x_{i}},{\vec {e}}_{x_{j}},{\vec {e}}_{x_{k}}]\equiv \det[{\vec {e}}_{x_{i}},{\vec {e}}_{x_{j}},{\vec {e}}_{x_{k}}]\ ,\quad {\mathcal {E}}_{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}},{\vec {b}}_{u_{j}},{\vec {b}}_{u_{k}}]={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}\ ,\quad {\mathcal {E}}^{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}]={\frac {1}{\sqrt {g}}}\,\epsilon ^{ijk}$

A bázisvektorok deriváltjai

A bázisvektorok deriváltjai görbe vonalú koordináta-rendszerekben a következőképpen különböznek a Descartes-féle koordináta-rendszerekben megszokottól. Mivel általában a koordinátagörbék nem egyenesek, és a bázisvektorok függenek a helytől, a bázisvektorokat is differenciálni kell. A szorzatszabályt alkalmazva:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left(a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left[{\frac {\partial a_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{u_{i}}+a_{u_{i}}{\frac {\partial {\vec {e}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\right]}$

Illetve a természetes bázisban:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left({\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {b}}_{u_{i}}+{\tilde {a}}_{u_{i}}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\right]}$

Christoffel-szimbólum

Az ${\vec {b}}_{u_{i}}$ bázisvektor egy $u_{k}$ koordináta szerinti deriváltja kifejezhető a $\{{\vec {b}}_{u_{j}}|j=1,2,\ldots ,n\}$ bázisvektorok lineáris kombinációjával:

${\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}$

A $\Gamma _{ki}^{j}$ együtthatók másodfajú Christoffel-szimbólumok.

$\Gamma _{ki}^{j}={\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}g^{jl}{\vec {b}}_{u_{l}}^{\,}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}g^{jl}\Gamma _{ki,l}=(\nabla u_{j})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}}=\sum _{l}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}{\frac {\partial ^{2}x_{l}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}}$

A $\Gamma _{ki,l}$ mennyiségek elsőfajú Christoffel-szimbólumok. Egy természetes bázisvektor teljes differenciálja:

$\mathrm {d} {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{j,k=1}^{n}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}\mathrm {d} u_{k}$

Egy vektor deriváltja kifejezhető Christoffel-szimbólumokkal:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {b}}_{u_{i}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{i}}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}\right]{\vec {b}}_{u_{i}}$

Itt a második egyenlőségjelnél felcseréltük az $i$ és $j$ indexeket, mivel mindkettőre összegzünk, és felbontottuk ${\vec {b}}_{u_{i}}$ zárójeleit.

Kovariáns derivált

Erre alapozható egy vektor kovariáns deriváltja:

$\nabla _{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{i}}={\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}$

Az első term az ${\vec {a}}$ vektormező ${\tilde {a}}_{u_{i}}$ komponensének megváltozását írja le az $u_{k}$ koordinátatengely mentén, a második a mező megváltozását, amit a koordináta-rendszer változása von magával. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben, ahol a metrikus tenzor konstans, a Christoffel-szimbólumok eltűnnek, és a kovariáns derivált megegyezik a parciális deriválttal.

A kovariáns derivált a sokaság geometriájának további geometriai szerkezetét tárja fel, ami lehetővé teszi különböző vektorterek és érintőterek vektorainak összehasonlítását. Így a kovariáns derivált különböző vektorterek differenciálgeometriai összefüggését állítja elő. Ez ahhoz szükséges például, hogy kiszámítsák egy ${\vec {\gamma }}(t)$ görbe görbületét. Ehhez a ${\vec {\gamma }}^{\,\prime }(t+\Delta t)$ és ${\vec {\gamma }}^{\,\prime }(t)$ vektorok differenciálhányadosát kell képezni, melyek különböző vektorterekben élnek.

A metrikus tenzorok kovariáns deriváltjának koordinátái eltűnnek: $\nabla _{u_{k}}g_{ij}=\nabla _{u_{k}}g^{ij}=0$.

A kovariáns deriválttal általánosíthatók az irány szerinti deriváltak:

$\nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}=\sum _{i,k=1}^{n}\left({\tilde {w}}_{u_{k}}{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {w}}_{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}\right){\vec {b}}_{u_{i}}$

Például ha egy görbe egy Riemann-sokaság geodetikus vonala, akkor definíció szerint két pont között a legrövidebb $\gamma :\,\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n},\,t\mapsto {\vec {r}}(t)$ összekötő vonal a sokaságon belül, ami kifejezhető az $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$ geodetikus differenciálegyenlettel. Ez azt jelenti, hogy az ${\dot {\vec {r}}}$ görbe sebesség-vektormezője (érintő-vektormezője) konstans a $\gamma$ görbe mentén. Ez a definíció annak felel meg, hogy $\mathbb {R} ^{n}$ geodetikus vonalai egyenesek. A görbe görbülete így eltűnik, így az érintővektor deriváltja is nulla végig a görbe mentén. Lokális koordinátákkal a geodetikus differenciálegyenlet:

$\nabla _{\dot {\vec {r}}}{\dot {\vec {r}}}=\sum _{i,k=1}^{n}{\Biggl (}\underbrace {\frac {\mathrm {d} u_{k}}{\mathrm {d} t}} _{{\dot {u}}_{k}}{\frac {\partial {\dot {u}}_{i}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\dot {u}}_{k}{\dot {u}}_{j}\Gamma _{kj}^{i}{\Biggr )}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mathrm {d} {\dot {u}}_{i}}{\mathrm {d} t}}+\sum _{j,k=1}^{n}{\dot {u}}_{k}{\dot {u}}_{j}\Gamma _{kj}^{i}\right){\vec {b}}_{u_{i}}$

A Christoffel-szimbólumok a $\nabla$ affin összefüggés koordinátái. Ha az együtthatók adottak, akkor megadtuk, hogy a sokaságban hogyan változnak pontról pontra a koordináta-rendszerek. Lehet, hogy több információnk van a térről és a benne levő differenciálható sokaságról, így tudjuk, hogy mit értünk kovariáns differenciáláson, így a Christoffel-szimbólumok meghatározhatók. Az utóbbi esetben be kell látni, hogy Riemann-sokaságról van szó, és a sokaság minden érintőtere skalárszorzat, így metrikát indukál, tehát van távolság.

Mivel a tekintetbe vett sokaságok (szemi)-Riemann-sokaságok (itt eltűnik a torziótenzor), azért a $\nabla$ összefüggés egy Levi-Civita-összefüggés, vagyis torziómentes, illetve szimmetrikus, és emellett még metrikus összefüggés is. Torziómentessége miatt az antiszimmetrizált $\nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}-\nabla _{\vec {a}}{\vec {w}}$ irány menti derivált megegyezik a $L_{\vec {w}}{\vec {a}}\equiv [{\vec {w}},{\vec {a}}]$ Lie-deriválttal. Míg az $\nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}$ irány menti derivált lineáris az ${\vec {w}}$ iránymezőben, azért az $L_{\vec {w}}{\vec {a}}$ Lie-derivált egy argumentumában sem lineáris.

A Christoffel-szimbólumok tulajdonságai

Schwarz tétele, illetve a $\nabla$ torziómentessége miatt a Christoffel-szimbólumok szimmetrikusak két alsó indexükben:

${\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{j}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{j}\partial u_{i}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{i}\partial u_{j}}}={\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}}{\partial u_{i}}}\quad \Longrightarrow \quad \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$

Ez alapján a Christoffel-szimbólumok a $g_{ij}$ metrikus együtthatók alapján:

$\Gamma _{ki,l}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{il}}{\partial u_{k}}}+{\frac {\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}}-{\frac {\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}}\right)\quad \Longrightarrow \quad \Gamma _{ki}^{j}=\sum _{l=1}^{n}{\frac {g^{jl}}{2}}\left({\frac {\partial g_{il}}{\partial u_{k}}}+{\frac {\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}}-{\frac {\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}}\right)$

Ez következik abból a relációból, hogy:

${\frac {\partial g_{ij}}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial ({\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}})}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}+{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}\Gamma _{ik}^{l}{\vec {b}}_{u_{l}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}+\sum _{l}\Gamma _{jk}^{l}{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{l}}=\sum _{l}\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}+\sum _{l}\Gamma _{jk}^{l}g_{il}=\Gamma _{ik,j}+\Gamma _{jk,i}$

és $\partial _{k}g_{ij}$ két permutációjából, azaz $\partial _{i}g_{jk}$-ból és $\partial _{j}g_{ki}$-ből.

A duális bázisvektorok deriváltjára a következő összefüggést kapjuk:

$\Gamma _{ki}^{j}={\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}\cdot {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\underbrace {{\frac {\partial }{\partial u_{k}}}\overbrace {{\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}} ^{\delta _{ij}}} _{0}-{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=-{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}=-\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

Ez alapján a kovariáns komponensek kovariáns deriváltjai:

${\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left({\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}-\sum _{j}{\tilde {a}}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma _{ki}^{j}\right]{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\quad \Longrightarrow \quad \nabla _{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}={\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}-\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma _{ki}^{j}$

Fontos megjegyezni, hogy a Christoffel-szimbólumok három indexükkel nem írnak le harmadfokú tenzort, mivel nem mutatják a tenzoroknál megkövetelt viselkedést a transzformációkkal szemben:

${\bar {\Gamma }}_{ij}^{k}:=\sum _{l,m,n}{\frac {\partial {\bar {u}}_{k}}{\partial u_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial {\bar {u}}_{i}}}{\frac {\partial u_{n}}{\partial {\bar {u}}_{j}}}\Gamma _{mn}^{l}+\sum _{n}{\frac {\partial {\bar {u}}_{k}}{\partial u_{n}}}{\frac {\partial ^{2}u_{n}}{\partial {\bar {u}}_{i}\partial {\bar {u}}_{j}}}$

A transzformációs formulában szereplő második tag miatt nincs szó tenzorról. Emiatt a Christoffel-szimbólumokat jelölik úgy is, hogy ne lehessen tenzornak nézni őket:

$\Gamma _{ij}^{k}=\left\{{\begin{array}{c}k\\ij\end{array}}\right\}\quad {\text{illetve}}\quad \Gamma _{ij,k}=\left[ij,k\right]$

A transzformációval szembeni viselkedésről tett kijelentés általánosítható: Egy tenzor parciális deriváltjának indexe ($i$) úgy transzformálódik, mint egy kovariáns index ($\partial _{i}A$). Ezzel szemben egy $\partial _{i}\partial _{j}A$ második parciális derivált indexei ($i,j$) közül egyik sem transzformálódik tenzorindexek módjára. Kiutat a kovariáns derivált jelent: Egy tenzorkoordináta $n$-edik kovariáns deriváltja újra tenzorkoordináta, kovariáns index módjára transzformálódik. Például ebben: $\nabla _{i}\nabla _{j}A$ $i$ és $j$ kovariáns indexek.

Görbe vonalú koordináták három dimenzióban

Vektorszorzat és alternáló tenzor

Descartes-koordinátákban a vektorszorzás az $\epsilon ^{ijk}$ Levi-Civita szimbólummal:

${\vec {v}}\times {\vec {w}}=\sum _{ijk}\epsilon _{ijk}v_{j}w_{k}{\vec {e}}_{i}^{\,*}=\sum _{ijk}\epsilon ^{ijk}v_{j}^{\,*}w_{k}^{\,*}{\vec {e}}_{i}\quad {\text{ahol}}\quad \epsilon _{ijk}=\epsilon ^{ijk}=\det[{\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j},{\vec {e}}_{k}]$

Görbe vonalú $\{u_{i}\}$ koordináták esetén az

${\mathcal {E}}_{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}},{\vec {b}}_{u_{j}},{\vec {b}}_{u_{k}}]={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}\ ,\quad {\mathcal {E}}^{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}]={\frac {1}{\sqrt {g}}}\,\epsilon ^{ijk}$

alternáló tenzor használható:

${\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}_{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}^{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}^{\,*}{\tilde {w}}_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\\&={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *}&{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *}&{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *}\\{\tilde {v}}_{u_{1}}&{\tilde {v}}_{u_{2}}&{\tilde {v}}_{u_{3}}\\{\tilde {w}}_{u_{1}}&{\tilde {w}}_{u_{2}}&{\tilde {w}}_{u_{3}}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{u_{1}}&{\vec {b}}_{u_{2}}&{\vec {b}}_{u_{3}}\\{\tilde {v}}_{u_{1}}^{\,*}&{\tilde {v}}_{u_{2}}^{\,*}&{\tilde {v}}_{u_{3}}^{\,*}\\{\tilde {w}}_{u_{1}}^{\,*}&{\tilde {w}}_{u_{2}}^{\,*}&{\tilde {w}}_{u_{3}}^{\,*}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}$

Ez levezethető abból, hogy ${\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}=\sum _{i}{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$:

${\mathcal {E}}_{ijk}:=\left({\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\right)\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{l}{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ljk}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{l}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}} _{\delta _{l,i}}={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}$

${\vec {v}}\times {\vec {w}}=\sum _{jk}\left({\tilde {v}}_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{j}}\right)\times \left({\tilde {w}}_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{k}}\right)=\sum _{jk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}\left({\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\right)=\sum _{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}\underbrace {{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}} _{{\mathcal {E}}_{ijk}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}$

A következő számításból látható, hogy ${\mathcal {E}}_{ijk}$ tenzorként viselkedik a transzformációkkal szemben. A kovariáns verzió:

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}_{ijk}:=\det \!\left[{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}},{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{j}}},{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}\right]&=\det \!{\Biggl [}\sum _{l}{\frac {\partial x_{l}}{\partial u_{i}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{l}}} _{{\vec {e}}_{l}},\sum _{m}{\frac {\partial x_{m}}{\partial u_{j}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{m}}} _{{\vec {e}}_{m}},\sum _{n}{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{k}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{n}}} _{{\vec {e}}_{n}}{\Biggr ]}\\&=\sum _{l,m,n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial x_{m}}{\partial u_{j}}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{k}}}\underbrace {\det \!\left[{\vec {e}}_{l},{\vec {e}}_{m},{\vec {e}}_{n}\right]} _{\epsilon _{lmn}}\end{aligned}}$

A vektorszorzat a normált bázisban:

${\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}_{ijk}{\frac {v_{u_{j}}w_{u_{k}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}}{h_{u_{j}}h_{u_{k}}h_{u_{i}}}}=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}^{ijk}h_{u_{j}}v_{u_{j}}^{\,*}h_{u_{k}}w_{u_{k}}^{\,*}h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}\\&={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{1}}^{\ *}&h_{u_{2}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{2}}^{\ *}&h_{u_{3}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{3}}^{\ *}\\h_{u_{1}}^{-1}v_{u_{1}}&h_{u_{2}}^{-1}v_{u_{2}}&h_{u_{3}}^{-1}v_{u_{3}}\\h_{u_{1}}^{-1}w_{u_{1}}&h_{u_{2}}^{-1}w_{u_{2}}&h_{u_{3}}^{-1}w_{u_{3}}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}{\vec {e}}_{u_{1}}&h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{2}}&h_{u_{3}}{\vec {e}}_{u_{3}}\\h_{u_{1}}v_{u_{1}}^{\,*}&h_{u_{2}}v_{u_{2}}^{\,*}&h_{u_{3}}v_{u_{3}}^{\,*}\\h_{u_{1}}w_{u_{1}}^{\,*}&h_{u_{2}}w_{u_{2}}^{\,*}&h_{u_{3}}w_{u_{3}}^{\,*}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}$

Koordinátafelületek: belső geometria

Az általánosság megszorítás nélkül feltesszük, hogy az $u_{3}={\text{const}}$ koordinátafelületről van szó. A felület egy nem normált normálvektora kollineáris a ${\vec {b}}_{u_{3}}^{\,*}$ kontravariáns bázisvektorral:

${\vec {n}}={\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}={\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{3}}^{\,*}$

Konvenció szerint $\mathbb {R} ^{3}$-ben egy felületet a belső geometria következő mennyiségeivel definiálhatjuk. Azért belső geometriai jellemzők, mivel megállapíthatók a felületen belül szög- és távolságméréssel (lásd első alapforma):

$E=\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{1}}}\right)^{2}={\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}=h_{u_{1}}^{2}=g_{11}$

$F={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{1}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{2}}}={\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{1}}\cdot {\vec {e}}_{u_{2}}=g_{12}$

$G=\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{2}}}\right)^{2}={\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}=h_{u_{2}}^{2}=g_{22}$

Ortogonális koordinátákban ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$, tehát $F=0$.

A felület metrikus tenzora és ennek Gram-determinánsa:

${\underline {\underline {\tilde {g}}}}=\left({\begin{array}{cc}E&F\\F&G\end{array}}\right)\quad \Rightarrow \quad {\tilde {g}}=\det {\underline {\underline {\tilde {g}}}}=EG-F^{2}={\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}-({\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}})^{2}=({\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}})^{2}$

A felület funkcionáldeterminánsa:

${\sqrt {\tilde {g}}}={\sqrt {EG-F^{2}}}=\left|{\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\right|=\det \left[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\hat {n}}\right]$

ahol ${\hat {n}}={\vec {n}}/|{\vec {n}}|$ a felület normált normálvektora.

Az inverz metrikus tenzor:

${\underline {\underline {\tilde {g}}}}^{-1}={\frac {1}{\tilde {g}}}\left({\begin{array}{cc}G&-F\\-F&E\end{array}}\right)$

Koordinátafelületek: Külső geometria

A következőkben a görög betűs indexek az 1,2 értékeket veszik fel, és a felület koordinátáit és bázisvektorait jelölik.

A ${\hat {n}}$ $u_{\beta }$ szerinti parciális deriváltja előállítható a ${\vec {e}}_{\alpha }$ felület bázisvektorainak lineáris kombinációjaként. Ez következik a ${\hat {n}}\cdot {\hat {n}}=1$ normálási feltételből a ${\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\hat {n}}=0$ deriváltból következően. Így $\partial _{\beta }{\hat {n}}$ ortogonális az ${\hat {n}}$ felületi normálisra, ennélfogva a felületben kell lennie. Bevezetünk egy másik $h$ mennyiséget is, ami másodfokú tenzor:

$\partial _{\beta }{\hat {n}}=-\sum _{\alpha =1}^{2}h_{\ \beta }^{\alpha }{\vec {e}}_{\alpha }=-\sum _{\alpha =1}^{2}h_{\alpha \beta }{\vec {e}}_{\alpha }^{\ *}$

A szakirodalom a $h$ tenzort másodfokú felülettenzornak, görbületi tenzornak vagy felülettenzornak nevezi. A $h_{\alpha \beta }$ kovariáns koordináták számítása:

$h_{\alpha \beta }=-{\vec {e}}_{\alpha }\cdot \partial _{\beta }{\hat {n}}=-\partial _{\beta }\underbrace {({\vec {e}}_{\alpha }\cdot {\hat {n}})} _{=0}+{\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }={\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {{\tilde {g}}^{\,}}}}\det \left[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }\right]$

ahol ${\hat {n}}=\left({\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\right)/{\sqrt {\tilde {g}}}$. Ez írható úgy is, mint:

$h_{\alpha \beta }={\hat {n}}\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{\beta }\partial u_{\alpha }}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}{\frac {1}{\sqrt {{\tilde {g}}^{\,}}}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{1}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{1}}}{\frac {\partial ^{2}x_{k}}{\partial u_{\beta }\partial u_{\alpha }}}=:\left({\begin{array}{cc}L&M\\M&N\end{array}}\right)_{\alpha \beta }$

lásd második alapforma.

A $h_{\alpha \beta }$ értékek kapcsolatba hozhatók a másodfajú Christoffel-szimbólumokkal. A ${\hat {n}}={\vec {e}}_{3}^{\ *}$ helyettesítéssel:

$h_{\alpha \beta }={\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }={\hat {n}}\cdot \sum _{i=1}^{3}{\vec {e}}_{i}\Gamma _{\alpha \beta }^{i}=\sum _{i=1}^{3}\underbrace {{\vec {e}}_{3}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{i}} _{\delta _{i}^{3}}\Gamma _{\alpha \beta }^{i}=\Gamma _{\alpha \beta }^{3}$

Innen a Gauß-Weingarten-egyenletek:

$\partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }=\sum _{\gamma =1}^{2}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }{\vec {e}}_{\gamma }+h_{\alpha \beta }{\hat {n}}\ ,\quad \partial _{\beta }{\hat {n}}=-\sum _{\gamma =1}^{2}h_{\ \beta }^{\gamma }{\vec {e}}_{\gamma }$

A második alapforma függ a felület helyzetétől a körülvevő térben, és a görbületi számításokhoz szükséges. A $h_{\ \beta }^{\alpha }$ vegyes, kontravariáns-kovariáns tenzor segítségével:

$h_{\ \beta }^{\alpha }=\sum _{\gamma =1}^{2}{\tilde {g}}^{\alpha \gamma }h_{\gamma \beta }={\frac {1}{\tilde {g}}}\left({\begin{array}{cc}GL-FM&GM-FN\\-FL+EM&-FM+EN\end{array}}\right)_{\ \beta }^{\alpha }$

a főgörbületek ($h_{\ \beta }^{\alpha }$ sajátértékei), $H=\operatorname {trace} \left(h_{\ \beta }^{\alpha }\right)/2$ középgörbület és a $K=\det \left(h_{\ \beta }^{\alpha }\right)$ Gauß-görbület is számítható.

A Riemann-féle görbületi tenzor kifejezhető a $R_{\ \alpha \beta \gamma }^{\nu }=h_{\ \beta }^{\nu }h_{\alpha \gamma }-h_{\ \gamma }^{\nu }h_{\alpha \beta }$ tenzorszorzattal. További integrabilitási feltételek a $\nabla _{\gamma }h_{\alpha \beta }-\nabla _{\beta }h_{\alpha \gamma }=0$ Mainardi-Codazzi-egyenletek.

Integrációs elemek három dimenzióban

Görbeelem

Egy vektoriális $\mathrm {d} {\vec {r}}$ útelem vagy görbeelem kifejezhető a helyvektor teljes differenciáljaként:

${\text{d}}{\vec {r}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}{\text{d}}u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\vec {b}}_{u_{i}}{\text{d}}u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\vec {e}}_{u_{i}}h_{u_{i}}{\text{d}}u_{i}}$

Az $u_{i}$ koordinátavonalak iránya menti differenciálok azonosíthatók:

$\operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}={\vec {b}}_{u_{i}}\operatorname {d} u_{i}={\vec {e}}_{u_{i}}h_{u_{i}}\operatorname {d} u_{i}$

Ügyeljünk arra, hogy $\operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}$ indexe nem jelez kovarianciát. A vektoriális útelemek segítségével ív- felület- és térfogatelemek határozhatók meg.

Ívelem

A skaláris útelem vagy hosszelem, illetve ívelem definíció szerint ${\text{d}}s=|{\text{d}}{\vec {r}}\,|$

${\begin{aligned}{\text{d}}s&={\sqrt {{\text{d}}{\vec {r}}\,^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}\cdot \operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}}}={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{3}{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}{\text{d}}u_{i}{\text{d}}u_{j}}}={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{3}g_{ij}\,{\text{d}}u_{i}{\text{d}}u_{j}}}\\&={\sqrt {g_{11}\left({\text{d}}u_{1}\right)^{2}+g_{22}\left({\text{d}}u_{2}\right)^{2}+g_{33}\left({\text{d}}u_{3}\right)^{2}+2g_{12}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}+2g_{13}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{3}+2g_{23}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}}}\end{aligned}}$

Normált bázisvektorokkal:

${\text{d}}s={\sqrt {\left(h_{u_{1}}{\text{d}}u_{1}\right)^{2}+\dots +2\left({\vec {e}}_{u_{1}}\cdot {\vec {e}}_{u_{2}}\right)h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}+\cdots }}$

Az ${\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}$ ortogonális koordináták esetén:

$g_{ij}=h_{u_{i}}^{2}\delta _{ij}$ és

${\text{d}}s={\sqrt {\left(h_{u_{1}}{\text{d}}u_{1}\right)^{2}+\left(h_{u_{2}}{\text{d}}u_{2}\right)^{2}+\left(h_{u_{3}}{\text{d}}u_{3}\right)^{2}}}$

Speciálisan, ha a görbe a $u_{3}={\text{const}}$ síkban fut, akkor az első alapforma:

${\begin{aligned}{\text{d}}s&={\sqrt {\left(h_{u_{1}}{\text{d}}u_{1}\right)^{2}+\left(h_{u_{2}}{\text{d}}u_{2}\right)^{2}+2\left({\vec {e}}_{u_{1}}\cdot {\vec {e}}_{u_{2}}\right)h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}}\\&={\sqrt {E\left({\text{d}}u_{1}\right)^{2}+G\left({\text{d}}u_{2}\right)^{2}+2F{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}}\end{aligned}}$

Felszínelem

Egy koordinátafelület felszíneleme:

${\text{d}}{\vec {A}}=\sum _{i=1}^{3}{\text{d}}{\vec {A}}_{i}\quad {\text{ahol}}\quad \epsilon _{ijk}{\text{d}}{\vec {A}}_{i}=\pm {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{j}}\times {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{k}}=\pm {\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\,{\text{d}}u_{j}{\text{d}}u_{k}=\pm {\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\,{\text{d}}u_{j}{\text{d}}u_{k}$

Az előjelet az irányítás adja meg. A ${\text{d}}A=|{\text{d}}{\vec {A}}|$ mennyiséget skaláris felszínelemnek nevezik.

Az általánosság megszorítása nélkül tekinthetjük az $u_{3}={\text{const}}$ koordinátafelületet:

${\text{d}}{\vec {A}}_{3}=\pm {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}}\times {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{2}}=\pm {\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\pm {\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}$

${\begin{aligned}{\text{d}}A_{3}&=\left|{\text{d}}{\vec {A}}_{3}\right|=\left|{\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\left|{\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\left|{\vec {n}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}\\&={\sqrt {{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}-\left({\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}}\right)^{2}}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}={\sqrt {EG-F^{2}}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}={\sqrt {\tilde {g}}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}\end{aligned}}$

Normált bázisvektorokkal:

${\text{d}}{\vec {A}}_{3}=\pm {\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}$

${\text{d}}A_{3}=\left|{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}\right|\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}$

Ortogonális koordináták esetén:

${\text{d}}{\vec {A}}_{3}=\pm {\vec {e}}_{u_{3}}h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\pm {\vec {e}}_{u_{3}}{\sqrt {EG}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}$

${\text{d}}A_{3}=\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}={\sqrt {EG}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}$

Térfogatelem

A térfogatelem:

${\text{d}}V=\left|{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}}\cdot \left({\text{d}}{\vec {r}}_{u_{2}}\times {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{3}}\right)\right|=\left|\det[{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}},{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}},{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{3}}]\right|=\left|\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}}]\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}=\left|{\sqrt {g}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}$

ahol azonosítható a ${\sqrt {g}}$ funkcionáldetermináns abszolútértéke.

Normált bázisvektorokra:

${\text{d}}V=\left|\det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}}]\right|\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}=\left|{\sqrt {g}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}$

Ortogonáls koordinátákban:

${\text{d}}V=\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}$

Differenciáloperátorok három dimenzióban

Az ortogonális koordináta-rendszerek speciális esete több különböző szempontból is fontos, például mérnökök és fizikusok számára. Többek között azért, mert a leggyakrabban használt görbe vonalú koordináta-rendszerek, például a gömbi és az elliptikus, ortogonálisak. Más szempontból azért is fontosak, mert itt nem kell foglalkozni a kovariáns, a kontravariáns, a duális, a gamma-együttható és további kapcsolódó fogalmakkal. Továbbá a bázisok mindig ortogonálisak, habár nem mindig normáltak. Ortonormált rendszert a normált bázisok alkotnak. A normált vektorokat ${\hat {}}$ jelöli.

Ortogonális koordináta-rendszerekben a következő differenciáloperátorokat adják meg: gradiens, divergencia, rotáció, Laplace-operátor. Egy $\phi (\mathbf {r} )$ függvény gradiense megadja a függvény legnagyobb meredekségét, a ${\rm {{div}\ \mathbf {a} (\mathbf {r} )}}$ skalármező, illetve ${\rm {{rot}\ \mathbf {a} }}$ vektormező a forrás- és örvénysűrűséget jelenti. Jelentésük független a koordinátáktól.

A $\Phi (\mathbf {u} )$ skalárfüggvény gradiense:

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\Phi &=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\vec {e}}_{u_{i}}{\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{i}}}}\\&={\vec {e}}_{u_{1}}{\frac {1}{h_{u_{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{1}}}+{\vec {e}}_{u_{2}}{\frac {1}{h_{u_{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{2}}}+{\vec {e}}_{u_{3}}{\frac {1}{h_{u_{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{3}}}\end{aligned}}$

Vegyük észre, hogy nemcsak $\Phi$, hanem minden megnevezett mennyiség, köztük a bázisvektorok és a $h$ együtthatók is függhetnek u-tól.

Egy vektormező divergenciája:

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}}}a_{u_{j}}\right)\\&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left(h_{u_{2}}h_{u_{3}}a_{u_{1}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left(h_{u_{1}}h_{u_{3}}a_{u_{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left(h_{u_{1}}h_{u_{2}}a_{u_{3}}\right)\right]\end{aligned}}$

Egy vektormező rotációja:

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\times {\vec {a}}&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\left(h_{u_{k}}a_{u_{k}}\right)\\&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}{\vec {e}}_{u_{1}}&h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{2}}&h_{u_{3}}{\vec {e}}_{u_{3}}\\{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\\h_{u_{1}}a_{u_{1}}&h_{u_{2}}a_{u_{2}}&h_{u_{3}}a_{u_{3}}\end{matrix}}\right|\\&={\frac {{\vec {e}}_{u_{1}}}{h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left({\frac {\partial (h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{3}}}\right)+{\frac {{\vec {e}}_{u_{2}}}{h_{u_{1}}h_{u_{3}}}}\left({\frac {\partial (h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{1}}}\right)+{\frac {{\vec {e}}_{u_{3}}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}}}\left({\frac {\partial (h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{2}}}\right)\end{aligned}}$

A Laplace-operátor:

${\begin{aligned}\Delta \Phi &={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{j}}}\right)\\&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left({\frac {h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{3}}}{h_{u_{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{2}}}{h_{u_{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{3}}}\right)\right]\end{aligned}}$

Tehát nem elég a $\Delta =\nabla ^{2}$ helyettesítést elvégezni, hanem alkalmazni kell a $\Delta \Phi ={\rm {{div\ grad}\ \phi }}$ definíciót. A fent megadott eredményeket a gyakorlatban egyszerűbben is megkaphatjuk ha a már meglevő koordinátafüggetlen definíciókat használjuk.

Konform leképezés

Két dimenzióban több hasznos koordináta-rendszert konform leképezéssel hoztak létre. Ezek nemcsak hogy derékszögűek, hanem szögtartóak tetszőleges szögre. Ez azt is jelenti, hogy két bázisvektor hosszának aránya mindig egy, például $|h_{u_{k}}|:|h_{u_{1}}|,\ k=2,3,\dots ,$ k-tól függetlenül, különben a gömbből ellipszoid lenne.

Differenciáloperátorok általános koordináta-rendszerben

A következőkben a természetes bázist, és a tenzoranalízisben megszokott jelöléseket használjuk. Azaz a felső index kontravarianciát, az alsó index kovarianciát jelez. Legyen továbbá $\Phi$ skalármező, és ${\vec {a}}=a^{i}{\vec {b}}_{i}=a_{i}{\vec {b}}^{\,\,i}$ vektormező.

Továbbá az írásmód $\partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ lesz, $\Gamma _{ik}^{j}$ Christoffel-szimbólum, amit $\partial _{k}{\vec {b}}_{i}=\sum _{j}\Gamma _{ik}^{j}{\vec {b}}_{j}$ definiál. A kovariáns derivált $\nabla _{i}$. Skalár kovariáns deriváltja $\nabla _{k}\Phi =\partial _{k}\Phi$, és vektor kovariáns deriváltja $\nabla _{k}a^{i}=\partial _{k}a^{i}+\sum _{j}\Gamma _{kj}^{i}a^{j}$, illetve $\nabla _{k}a_{i}=\partial _{k}a_{i}-\sum _{j}\Gamma _{ki}^{j}a_{j}$.

Skalármező gradiense:

$\mathrm {grad} \,\Phi =\sum _{i}(\nabla _{i}\Phi ){\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}(\partial _{i}\Phi ){\vec {b}}^{\,\,i}$

Tenzormező gradiense:

Egy $n\geq 1$ fokú $A$ tenzor esetén két lehetőség adódik a gradiens definiálására:

• a jobbgradiens:

$\mathrm {grad} \,A=A\otimes \nabla =\sum _{k}(\partial _{k}A)\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}$

• a balgradiens:

$\mathrm {grad} \,A=\nabla \otimes A=\sum _{k}{\vec {b}}^{\,\,k}\otimes (\partial _{k}A)$.

A továbbiakban a jobbgradienst használjuk.

Vektormező gradiense:

${\begin{aligned}\mathrm {grad} \,{\vec {a}}&=\sum _{k}(\partial _{k}{\vec {a}})\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a^{i}+a^{l}\Gamma _{lk}^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a_{i}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a_{i}-a_{l}\Gamma _{ik}^{l}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\end{aligned}}$

Másodfokú tenzor gradiense:

${\begin{aligned}\mathrm {grad} \,{\vec {a}}&=\sum _{k}(\partial _{k}{\vec {a}})\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a^{i}+a^{l}\Gamma _{lk}^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a_{i}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a_{i}-a_{l}\Gamma _{ik}^{l}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\end{aligned}}$

Vektormező divergenciája:

${\begin{aligned}\mathrm {div} \,{\vec {a}}&=\operatorname {Tr} (\mathrm {grad} \,{\vec {a}})\\&=\sum _{i}\nabla _{i}a^{i}=\sum _{i}\partial _{i}a^{i}+\sum _{i,j}\Gamma _{ij}^{i}a^{j}\\&=\sum _{i,k}\nabla _{i}a_{k}g^{ik}=\sum _{k}\left(\sum _{i}\partial _{i}a_{k}-\sum _{i,j}\Gamma _{ik}^{j}a_{j}\right)g^{ik}\\&=\sum _{i}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})\end{aligned}}$

Tenzormező divergenciája: Az $n\geq 2$ fokú $A$ tenzorok esetén két lehetőség van a divergencia definiálására: a jobbdivergencia $\mathrm {div} \,A=A\cdot \nabla$ és a baldivergencia $\mathrm {div} \,A=\nabla \cdot A$. A továbbiakban a jobbdivergenciát használjuk.

Másodfokú tenzor divergenciája:

${\begin{aligned}\operatorname {div} {\underline {\underline {S}}}&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S^{ij}\,{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S^{ij}\right]{\vec {b}}_{i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{\delta _{j}^{k}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S^{ik}\right]{\vec {b}}_{i}\\&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S_{i}^{~j}\,{\vec {b}}^{~i}\otimes {\vec {b}}_{j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S_{i}^{~j}\right]{\vec {b}}^{~i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{\delta _{j}^{k}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S_{i}^{~k}\right]{\vec {b}}^{~i}\\&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S_{~j}^{i}\,{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{~j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S_{~j}^{i}\right]{\vec {b}}_{i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}^{~j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{g^{jk}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S^{ik}\right]{\vec {b}}_{i}\\&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S_{ij}\,{\vec {b}}^{~i}\otimes {\vec {b}}^{~j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S_{ij}\right]{\vec {b}}^{~i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}^{~j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{g^{jk}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S_{i}^{~k}\right]{\vec {b}}^{~i}\end{aligned}}$

Tenzormező rotációja:

Egy $n\geq 1$ fokú $A$ tenzor esetén két lehetőség adódik a rotáció definiálására:

• a jobbrotáció

$\mathrm {rot} \,A=A\otimes \nabla$

• és a balrotáció:

$\mathrm {rot} \,A=\nabla \otimes A$.

A továbbiakban a jobbrotációt használjuk:

$\mathrm {rot} \,A=A\otimes \nabla =-A\times \nabla =-\partial _{k}A\times {\vec {b}}^{\ k}$

Vektormező rotációja:

${\begin{aligned}\mathrm {rot} \,{\vec {a}}&=\sum _{i,j,k}{\mathcal {E}}^{ijk}\nabla _{i}a_{j}{\vec {b}}_{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j,k}\epsilon ^{ijk}(\partial _{i}a_{j}){\vec {b}}_{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{1}&{\vec {b}}_{2}&{\vec {b}}_{3}\\\partial _{1}&\partial _{2}&\partial _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j,k,l}\epsilon ^{ijk}(\partial _{i}a^{l}g_{jl}){\vec {b}}_{k}\\&=\sum _{i,j,k}{\mathcal {E}}_{ijk}\nabla ^{i}a^{j}{\vec {b}}^{\ k}={\sqrt {g}}\sum _{i,j,k}\epsilon _{ijk}(\partial ^{i}a^{j}){\vec {b}}^{\ k}={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}^{\ 1}&{\vec {b}}^{\ 2}&{\vec {b}}^{\ 3}\\\partial ^{1}&\partial ^{2}&\partial ^{3}\\a^{1}&a^{2}&a^{3}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}$

Skalármező Laplace-operátora:

${\begin{aligned}\Delta \Phi &=\mathrm {div} (\mathrm {grad} \,\Phi )\\&=\sum _{i}\nabla _{i}(\nabla ^{i}\Phi )=\sum _{i,j}\nabla _{i}g^{ij}\nabla _{j}\Phi =\sum _{i,j}\partial _{i}g^{ij}\partial _{j}\Phi +\sum _{i,j,k}\Gamma _{ij}^{i}g^{jk}\partial _{k}\Phi \\&=\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}\,g^{ij}\partial _{j}\Phi )\end{aligned}}$

Gradiens és totális differenciál

A következőkben a gradiens görbe vonalú koordináta-rendszerben vezetjük be. A helyvektor totális differenciálja előáll, mint:

$\mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{j}\partial _{j}{\vec {r}}\,\mathrm {d} u^{j}=\sum _{j}{\vec {b}}_{j}\,\mathrm {d} u^{j}\quad \Rightarrow \quad {\vec {b}}^{\,\,i}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{j}\underbrace {{\vec {b}}^{\,\,i}\cdot {\vec {b}}_{j}} _{\delta _{j}^{i}}\,\mathrm {d} u^{j}=\mathrm {d} u^{i}$

Legyen most $\Phi$ tetszőleges skalármező. Totális differenciálja a $\mathrm {d} u^{i}$ fenti ábrázolásával:

$\mathrm {d} \Phi =\sum _{i}(\partial _{i}\Phi )\,\mathrm {d} u^{i}=\sum _{i}(\partial _{i}\Phi )\,{\vec {b}}^{\,\,i}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

A $\nabla \Phi$ gradiens definiálható, mint:

$\mathrm {d} \Phi =\langle \nabla \Phi ,\mathrm {d} {\vec {r}}\rangle =\nabla \Phi \cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

és azonosítható, mint:

$\nabla \Phi =\sum _{i}(\partial _{i}\Phi )\,{\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial u^{i}}}\,{\vec {b}}^{\,\,i}$

Ortogonális koordinátákban egy kovariáns bázisvektor ${\vec {b}}_{i}=h_{i}{\vec {e}}_{i}$, és a hozzá tartozó duális kontravariáns bázisvektor ${\vec {b}}^{\,\,i}={\frac {1}{h_{i}}}{\vec {e}}_{i}$. Így ortogonális koordinátákban a gradiens:

$\nabla \Phi =\sum _{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial u^{i}}}\,{\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial u^{i}}}\,{\frac {1}{h_{i}}}{\vec {e}}_{i}$

$\Phi =u^{k}$ esetén a ${\vec {b}}^{\,\,k}$ kontravariáns bázisvektor gradiensét kapjuk, tehát a $u^{k}={\text{const.}}$ koordinátafelület normálisának gradiensét:

$\nabla u^{k}=\sum _{i}(\partial _{i}u^{k})\,{\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}\underbrace {\frac {\partial u^{k}}{\partial u^{i}}} _{\delta _{i}^{k}}\,{\vec {b}}^{\,\,i}={\vec {b}}^{\,\,k}$

Speciális Christoffel-szimbólumok

A divergencia kiszámításához szükség van a $\Gamma _{ij}^{i}$ Christoffel-szimbólumra. Ez kifejezhető, mint a metrikus tenzor $g$ determinánsa:

$\sum _{i}\Gamma _{ij}^{i}=\sum _{i,k}{\cfrac {g^{ki}}{2}}{\frac {\partial g_{ik}}{\partial u^{j}}}=\sum _{i,k}{\cfrac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial g_{ik}}}{\frac {\partial g_{ik}}{\partial u^{j}}}={\cfrac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial u^{j}}}={\frac {1}{2g}}\partial _{j}g={\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}{\sqrt {g}}$

ami következik abból, hogy $g^{ij}={\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial g_{ji}}}$ és a következő összefüggésből:

$\sum _{ij}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial u_{k}}}=\sum _{ijl}\Gamma _{ik}^{l}g_{lj}g^{ij}+\sum _{ijl}\Gamma _{jk}^{l}g_{il}g^{ij}=\sum _{il}\Gamma _{ik}^{l}\delta _{l}^{i}+\sum _{jl}\Gamma _{jk}^{l}\delta _{l}^{j}=\sum _{i}\Gamma _{ik}^{i}+\sum _{j}\Gamma _{jk}^{j}=2\sum _{i}\Gamma _{ik}^{i}$

Így a divergencia és a Laplace-operátor:

${\begin{aligned}\mathrm {div} \,{\vec {a}}&=\sum _{i}\partial _{i}a^{i}+\sum _{i,j}\Gamma _{ji}^{j}a^{i}=\sum _{i}\partial _{i}a^{i}+\sum _{i}{\frac {1}{\sqrt {g}}}(\partial _{i}{\sqrt {g}})a^{i}=\sum _{i}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Delta \Phi &=\sum _{i}\partial _{i}g^{ij}\partial _{j}\Phi +\sum _{i,j,k}\Gamma _{ki}^{k}g^{ij}\partial _{j}\Phi =\sum _{i}\partial _{i}g^{ij}\partial _{j}\Phi +\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}(\partial _{i}{\sqrt {g}})g^{ij}\partial _{j}\Phi =\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}\,g^{ij}\partial _{j}\Phi )\end{aligned}}$

Koordinátafüggetlen divergencia

A divergencia koordinátafüggetlen ábrázolása a következő forrássűrűséget vezeti be:

$\operatorname {div} {\vec {F}}=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint \limits _{\partial (\Delta V)}\!\mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}$

ahol $\Delta V$ egy tetszőleges térfogat, és az $\mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}$ áramot integráljuk a $\partial (\Delta V)$ peremen. A következőkben ez egy infinitezimális paralelepipedon a ${\vec {r}}=(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})$ pont környezetben, melyet az ${\vec {b}}_{i}\Delta u^{i}={\vec {e}}_{i}h_{i}\Delta u^{i}$ vektorok feszítenek ki az $u^{i}$ koordinátavonalak irányában. Ez azt jelenti, hogy koordinátái az $u^{i}\in I^{i}:=[u_{0}^{i},u_{0}^{i}+\Delta u^{i}]$ intervallumba esnek. Az élek hossza $h_{i}\Delta u^{i}$, és az ${\vec {e}}_{i}$ élek nem feltétlenül merőlegesek egymásra. A térfogat számítása:

$\Delta V=\left|\det[{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}]\right|\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}={\sqrt {g}}\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}$

A paralelepipedont az $u^{i}=u_{0}^{i}=\mathrm {const}$ és az $u^{i}=u_{0}^{i}+\Delta u^{i}=\mathrm {const}$ lapok határolják. Egy $u^{i}=u_{0}^{i}=\mathrm {const}$ koordinátafelület felületeleme három dimenzióban:

${\text{d}}{\vec {A}}^{i}=\pm \sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{j}\times {\vec {b}}_{k}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}=\pm \sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\sqrt {g}}\,{\vec {b}}^{\ i}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}$

és a ${\vec {F}}=\sum _{l}F^{l}{\vec {b}}_{l}$ vektormező helyi árama ezen a felületelemen keresztül:

$\mathrm {d} {\vec {A}}^{i}\cdot {\vec {F}}=\pm \sum _{j,k,l=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\sqrt {g}}\,F^{l}\underbrace {{\vec {b}}^{\ i}\cdot {\vec {b}}_{l}} _{\delta _{l}^{i}}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}=\pm \sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\sqrt {g}}\,F^{i}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}$

így a $u^{1}=u_{0}^{1}$ felületen keresztülhaladó áram (mivel a $-\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}$ vektoriális felületelem kifelé mutat, azért $-\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}$):

${\begin{aligned}\Phi _{1a}&=\int \limits _{(u^{2},u^{3})\in I^{2}\times I^{3}}\!\left[-\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}\cdot {\vec {F}}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u^{3})}=\int \limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\mathrm {d} u^{2}\int \limits _{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3}+\Delta u^{3}}\!\mathrm {d} u^{3}\left[-{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u^{3})}\\&\approx \left[-{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}\end{aligned}}$

és a $u^{1}=u_{0}^{1}+\Delta u^{1}$ felületen áthaladó áram:

${\begin{aligned}\Phi _{1b}&=\int \limits _{(u^{2},u^{3})\in I^{2}\times I^{3}}\!\left[\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}\cdot {\vec {F}}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u^{3})}=\int \limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\mathrm {d} u^{2}\int \limits _{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3}+\Delta u^{3}}\!\mathrm {d} u^{3}\left[{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u^{3})}\\&\approx \left[{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}\approx \left[{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}+\left[{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{1}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}\end{aligned}}$

itt az integrandust az $(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})$ helyen első rendben $\Delta u^{i}$-ba fejtettük. A kettő összevetésével

$\Phi _{1}=\Phi _{1a}+\Phi _{1b}=\left[{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{1}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}$

A többi koordinátára hasonlóan:

${\frac {1}{\Delta V}}\oint \limits _{\partial (\Delta V)}\!\mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}={\frac {1}{\Delta V}}\sum _{i=1}^{3}\Phi _{i}={\frac {1}{{\sqrt {g}}\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{i}}{\partial u^{i}}}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{i}}{\partial u^{i}}}$

így a divergencia a természetes $F^{i}$, illetve normált ${\tilde {F}}^{i}$ koordinátákban:

$\operatorname {div} {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}\partial _{i}{\sqrt {g}}\,F^{i}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}\partial _{i}{\sqrt {g}}\,{\tilde {F}}^{i}/h_{i}$

Ortogonális koordinátákban:

$\operatorname {div} {\vec {F}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i}\partial _{i}{\frac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}}}{\tilde {F}}^{i}$

Koordinátafüggetlen rotáció

A rotáció koordinátafüggetlen definíciója:

$(\operatorname {rot} {\vec {F}})\cdot {\hat {n}}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {1}{\Delta A}}\oint \limits _{\partial (\Delta A)}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

ahol $\Delta A$ tetszőleges felület az ${\hat {n}}$ egységnormálissal, ahol az $\int \mathrm {d} {\vec {r}}\cdot {\vec {F}}$ vonal menti integrál a felület $\partial (\Delta A)$ pereme körül fut.

A továbbiakban egy ${\hat {n}}={\vec {b}}^{\;3}/|{\vec {b}}^{\;3}|$ felületet tekintünk. Így a bal oldal:

$(\operatorname {rot} {\vec {F}})\cdot {\hat {n}}=\sum _{i=1}^{3}(\operatorname {rot} {\vec {F}})^{i}{\vec {b}}_{i}\cdot {\frac {{\vec {b}}^{\;3}}{|{\vec {b}}^{\;3}|}}=(\operatorname {rot} {\vec {F}})^{3}{\frac {1}{|{\vec {b}}^{\;3}|}}$

Legyen $\Delta A$ egy (infinitezimális) paralelogramma a ${\vec {r}}=(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})$ pont körül, melyet a ${\vec {b}}_{1}\Delta u^{1}$ és ${\vec {b}}_{2}\Delta u^{2}$ vektorok feszítenek ki. Ennek terűlete $\Delta A=|{\vec {b}}_{1}\Delta u^{1}\times {\vec {b}}_{2}\Delta u^{2}|={\sqrt {g}}\,|{\vec {b}}^{\;3}|\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}$.

Az integráció ennek a paralelogrammának az éleit járja körbe:

$[u_{0}^{1},u_{0}^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{1}\mathrm {d} u^{1}}]{\gamma _{1}}}[u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{2}\mathrm {d} u^{2}}]{\gamma _{2}}}[u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{1}\mathrm {d} u^{1}}]{\gamma _{3}}}[u_{0}^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{2}\mathrm {d} u^{2}}]{\gamma _{4}}}[u_{0}^{1},u_{0}^{2}]$

Ha ${\vec {F}}=\sum _{i=1}^{3}F_{i}{\vec {b}}^{\,\,i}$, akkor ${\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=F_{1}\,\mathrm {d} u^{1}$ $\gamma _{1}$-re és $\gamma _{3}$-ra, illetve ${\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=F_{2}\,\mathrm {d} u^{2}$ $\gamma _{2}$-re és $\gamma _{4}$-re.

Az 1 és 3 út menti integrálok összefoglalva:

${\begin{aligned}\int _{\gamma _{1}+\gamma _{3}}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}&=\int \limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\mathrm {d} u^{1}+\int \limits _{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}^{u_{0}^{1}}\!\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2},u_{0}^{3})}\mathrm {d} u^{1}\\&=\int \limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left(\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}-\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2},u_{0}^{3})}\right)\mathrm {d} u^{1}\end{aligned}}$

Ha az integrandust az $(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})$ helyen első rendben kifejtjük $\Delta u^{1}$-re, akkor akkor a megközelített integrandus $u_{0}^{1}$-től függ, tehát független $u^{1}$-től, így az integrandus egyszerűen kiértékelhető:

$\int _{\gamma _{1}+\gamma _{3}}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\approx \int \limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left(-\left[{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\right)\mathrm {d} u^{1}=-\left[{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{1}$

Analóg módon, a 2 és a 4 út menti integrálra adódik, hogy:

${\begin{aligned}\int _{\gamma _{2}+\gamma _{4}}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}&=\int \limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\underbrace {\left(\left[F_{2}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u_{0}^{3})}-\left[F_{2}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u_{0}^{3})}\right)} _{\approx \left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}}\mathrm {d} u^{2}\approx \left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\end{aligned}}$

Összevetve a cirkuláció $u^{3}=u_{0}^{3}$-on belül a $\Delta A$ paralelogramma körül:

$\oint \limits _{\partial (\Delta A)}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\approx \left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}$

$\Delta u^{1},\Delta u^{2}\to 0$ esetén a közelítésekből egzakt relációk lesznek. A rotáció definiáló egyenlőségét behelyettesítve, ha minden mennyiséget $(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})$ körül értékelünk ki.

$(\operatorname {rot} {\vec {F}})^{3}{\frac {1}{|{\vec {b}}^{\;3}|}}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {1}{{\sqrt {g}}\,|{\vec {b}}^{\;3}|\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}}}\left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]\Delta u^{1}\Delta u^{2}\quad \implies \quad (\operatorname {rot} {\vec {F}})^{3}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left[\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}\right]$

Hasonló eredményeket kaphatunk a többi koordinátára is a koordináták ciklikus cseréjével. Így a rotáció azzal, hogy: ${\mathcal {E}}^{ijk}=\varepsilon ^{ijk}/{\sqrt {g}}$:

$\left(\operatorname {rot} {\vec {F}}\right)^{i}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{jk}\varepsilon ^{ijk}\partial _{j}\,F_{k}\quad \implies \quad \operatorname {rot} {\vec {F}}=\sum _{ijk}{\vec {b}}_{i}{\mathcal {E}}^{ijk}\partial _{j}\,F_{k}$

A természetes $F_{k}$ kovariáns koordináta számítható a (természetes) kontravariáns $F^{n}$-ből úgy, mint $F_{k}=\sum _{n}g_{kn}F^{n}$. A továbbiakban a normált koordináták $F^{n}={\tilde {F}}^{n}/h_{n}$ illetve ${\vec {b}}_{i}=h_{i}{\vec {e}}_{i}$.

Ha a koordináták ortogonálisak, akkor $g_{kn}=h_{k}^{2}\delta _{kn}$ miatt teljesül, hogy $F_{k}=h_{k}^{2}F^{k}$ sowie ${\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}$. Az ${\tilde {F}}^{k}$ ortogonális normált koordinátákra $F_{k}=h_{k}{\tilde {F}}^{k}$, tehát ekkor a rotáció:

$\operatorname {rot} {\vec {F}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{ijk}h_{i}{\vec {e}}_{i}\varepsilon ^{ijk}\partial _{j}\,(h_{k}{\tilde {F}}^{k})$

A rotáció mint antiszimmetrikus tenzor

A rotáció képletében feltűnnek a $\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i}$ termek, melyek parciális deriváltakká egyszerűsíthetők, mivel a Christoffel-szimbólumok alsó indexükben szimmetrikusak:

$\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i}=\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k}-\partial _{j}a_{i}+\Gamma _{ji}^{k}a_{k}=\partial _{i}a_{j}-\partial _{j}a_{i}\quad \iff \quad \sum _{i,k}\epsilon ^{ijk}\Gamma _{ik}^{l}=-\sum _{i,k}\epsilon ^{ijk}\Gamma _{ik}^{l}=0$

Ez a mennyiség egy másodfokú antiszimmetrikus tenzort ábrázol, a ${\vec {a}}$ vektor rotorja.

Példák görbevonalú koordináta-rendszerekre

Ortogonális koordináta-rendszerek

• Hengerkoordináta-rendszer: $(\rho ,\phi ,z)$

$\rho \geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi \,,\quad -\infty <z<\infty$

$x=\rho \cos \phi \,,\quad y=\rho \sin \phi \,,\quad z=z$

• Gömbkoordináta-rendszer: $(r,\theta ,\phi )$

$r\geq 0\,,\quad 0\leq \theta \leq \pi \,,\quad 0\leq \phi <2\pi$

$x=r\sin \theta \cos \phi \,,\quad y=r\sin \theta \sin \phi \,,\quad z=r\cos \theta$

• Parabolikus hengerkoordináta-rendszer: $(u,v,z)$

$-\infty <u<\infty \,,\quad v\geq 0\,,\quad -\infty <z<\infty$

$x=(u^{2}-v^{2})/2\,,\quad y=uv\,,\quad z=z$

• Paraboloid koordináta-rendszer: $(u,v,\phi )$

$u\geq 0\,,\quad v\geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi$

$x=uv\cos \phi \,,\quad y=uv\sin \phi \,,\quad z=(u^{2}-v^{2})/2$

• Elliptikus hengerkoordináta-rendszer: $(\xi ,\phi ,z)$

$\xi \geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi \,,\quad -\infty <z<\infty$

$x=a\operatorname {ch} \xi \cos \phi \,,\quad y=a\operatorname {sh} \xi \sin \phi \,,\quad z=z$

• Nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer: $(\xi ,\theta ,\phi )$

$\xi \geq 0\,,\quad 0\leq \theta \leq \pi \,,\quad 0\leq \phi <2\pi$

$x=a\operatorname {sh} \xi \sin \theta \cos \phi \,,\quad y=a\operatorname {sh} \xi \sin \theta \sin \phi \,,\quad z=a\operatorname {ch} \xi \cos \theta$

• Lapított ellipszoid koordináta-rendszer: $(\xi ,\vartheta ,\phi )$

$\xi \geq 0\,,\quad -\pi /2\leq \vartheta \leq \pi /2\,,\quad 0\leq \phi <2\pi$

$x=a\operatorname {ch} \xi \cos \vartheta \cos \phi \,,\quad y=a\operatorname {ch} \xi \cos \vartheta \sin \phi \,,\quad z=a\operatorname {sh} \xi \sin \vartheta$

• Bipoláris koordináta-rendszer: $(u,v,z)$

$0\leq u<2\pi \,,\quad -\infty <v<\infty \,,\quad -\infty <z<\infty$

$x={\frac {a\operatorname {sh} v}{\operatorname {ch} v-\cos u}}\,,\quad y={\frac {a\sin u}{\operatorname {ch} v-\cos u}}\,,\quad z=z$

• Ellipszoid koordináta-rendszer: $(\lambda ,\mu ,\nu )$

${\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}&=1\ ,\quad \lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2}\\{\frac {x^{2}}{a^{2}-\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\mu }}&=1\ ,\quad c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2}\\{\frac {x^{2}}{a^{2}-\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\nu }}&=1\ ,\quad c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2}\end{aligned}}$

Nem ortogonális koordináta-rendszer

• Alternatív elliptikus hengerkoordináták: $(\xi ,\phi ,z)$

$\xi \geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi \,,\quad -\infty <z<\infty$

$x=a\xi \cos \phi \,,\quad y=b\xi \sin \phi \,,\quad z=z$

Differenciálgeometria

A görbe vonalú koordináták egyik hagyományos alkalmazását a differenciálgeometriában találjuk meg, speciálisan differenciálható sokaságok atlaszaiban. A következőkben összefüggéseket vezetünk le a differenciálformák kalkulusához, amelyek ezen számítások alapján koordinátafüggetlenül ábrázolhatók.

Differenciálformák

Legyen $M$ egy $n$-dimenziós differenciálható sokaság. Egy $\omega$ $k$-forma minden $p\in M$ ponthoz hozzárendel egy sima alternáló $\omega _{p}$ $k$-multilineáris formát a $T_{p}M$ érintőtéren. Ez az $\omega _{p}$ egy valós értékű lineáris funkcionál, ami vektormező $k$-saihoz valós számokat rendelnek:

$\omega _{p}\colon \underbrace {T_{p}M\times \ldots \times T_{p}M} _{k{\text{-szor}}}\to \mathbb {R}$

Itt $\omega _{p}$ maga az érintőtér külső hatványának eleme, azaz $\Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)=T_{p}^{*}M\wedge \ldots \wedge T_{p}^{*}M$ eleme, mivel teljesül, hogy $\Lambda ^{0}(T^{*}M)=C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ és $\Lambda ^{1}(T^{*}M)=T^{*}M$. Az összes $M$ fölötti $k$-forma halmaza, illetve a $\textstyle \Lambda ^{k}(T^{*}M)=\bigsqcup _{p\in M}\Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)$ diszjunkt unió képezi az $\Omega ^{k}(M)$ vektorteret. Ezekkel a képletekkel atlaszfüggetlenül lehet integrálni egy sokaságon.

A tenzoranalízisben $\omega _{p}$ antiszimmetrikus $k$-fokú kovariáns tenzor. Lásd: alternáló $k$-multilineáris forma.

Differenciálformák: ábrázolás koordinátákkal

Legyen $U$ nyílt része $M$-nek, és $(U,x)$ helyi koordináta-rendszer az $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ helyi koordinátákkal. Ekkor a $p\in U$ helyen

$\left\{{\vec {b}}_{i}\mid i=1,\ldots n\right\}=\left\{\partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mid i=1,\ldots n\right\}$

a $T_{p}M$ érintőtér helyi bázisa és

$\left\{{\vec {b}}^{\ i}\mid i=1,\ldots n\right\}=\left\{\mathrm {d} x^{i}\in \Omega ^{1}M\mid i=1,\ldots n\right\}$

a hozzá tartozó duális bázis. A dualitást $\mathrm {d} x^{i}\,\partial _{j}=\delta _{j}^{i}$ fejezi ki, tehát ez bázisa a $T_{p}^{*}M=\Lambda ^{1}(T_{p}^{*}M)\subset \Omega ^{1}M$ koérintőtérnek. Ezek 1-formák a $T_{p}M$ vektortéren. Ezeknek az $\mathrm {d} x^{i}$ 1-formáknak a $k$-szoros $\wedge$ külső szorzata, ahol $\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}$ asszociatív, bilineáris és antikommutatív, egy $k$-forma, ahol

$\{\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\in \Omega ^{k}M\mid 1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n\}$

a $T_{p}^{*}M$ koérintőtér fölötti $\Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)$ külső algebra egy bázisa. Minden $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ differenciálforma egyértelműen ábrázolható az összes $(U,x)$ térképen:

$\omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}w_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}$

Például egy 2-forma:

$\omega =\sum _{1\leq i<j\leq n}w_{ij}(x)\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=\sum _{1\leq i<j\leq n}w_{ij}(x)\,\left(\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}-\mathrm {d} x^{j}\otimes \mathrm {d} x^{i}\right)$

ami megfelel egy másodfokú antiszimmetrikus kovariáns tenzormezőnek. Az $n=3$ esetben:

$\omega =\sum _{\underset {i<j}{i,j=1}}^{3}w_{ij}(x)\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=w_{12}(x)\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}+w_{13}(x)\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}+w_{23}(x)\,\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}$

A skalár- és vektormezők kapcsolata a differenciálformákkal

Differenciálható skalármezők esetén teljesül az azonosság: az $f\colon \,M\to \mathbb {R}$ sima függvények identikusak a 0-formákkal:

$C^{\infty }(M,\mathbb {R} )=\Omega ^{0}M$

A következő izomorfiával egy ${\vec {v}}\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{n})$ differenciálható vektormezőhöz egyértelműen hozzárendelhető egy 1-forma, ahol $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ a skalárszorzat, és alkalmazzuk az Einstein-féle összegkonvenciót is:

$C^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{n}){\overset {\cong }{\longrightarrow }}\Omega ^{1}M\ ,\quad {\vec {v}}=v_{i}{\vec {b}}^{\ i}\mapsto \left\langle {\vec {v}}\mid \cdot \right\rangle =v_{i}\left\langle {\vec {b}}^{\ i}\mid \cdot \right\rangle =v_{i}\mathrm {d} x^{i}$

A Hodge-Stern-operátorral egy skalármezőhöz hozzárendelhető egy $n$-forma, és egy vektormezőhöz egy $(n-1)$-forma.

Művelet érintő- és koérintővektorok

A flat, bé $\flat$ és sharp, kereszt $\sharp$ zenei operátorok izomorfiákat írnak le, melyeket a ${\underline {\underline {g}}}=\left\langle \partial _{i}\mid \partial _{j}\right\rangle \mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}$ Riemann-metrika indukál, és az érintővektorokat a koérintővektorokra, illetve megfordítva képezik le:

$\sharp :\,T_{p}M\to T_{p}^{*}M\ ,\quad v^{i}{\vec {e_{i}}}\mapsto v^{i}g_{ij}{\vec {b}}^{\ j}=v_{j}{\vec {b}}^{\ j}\ ,\quad v^{i}\partial _{i}\mapsto v_{j}\mathrm {d} x^{j}$

$\flat :\,T_{p}^{*}M\to T_{p}M\ ,\quad v_{i}{\vec {b}}^{\ i}\mapsto v_{i}g^{ij}{\vec {b}}_{j}=v^{j}{\vec {b}}_{j}\ ,\quad v_{i}\mathrm {d} x^{i}\mapsto v^{j}\partial _{j}$

A tenzor notációban ez az indexek emelésének és süllyesztésének felel meg.

Hodge-Stern-operátor

Az $n$dimenziós, irányított, euklideszi terekben létezik egy kanonikus izomorfizmus, ami a komplementer fokú ($k$ és $n-k$) alternáló multilineáris formákat egymásra képezi le. Ez az úgynevezett Hodge-Stern-operátor:

$*:\,\Omega ^{k}M{\overset {\cong }{\longrightarrow }}\Omega ^{n-k}M$

Mindkét vektortér dimenziója ${\binom {n}{k}}\equiv {\binom {n}{n-k}}$.

Három dimenzióban, azaz $n=3$ esetén egy 0-formához hozzárendel egy 3-formát:

$\Omega ^{0}M{\overset {*}{\leftrightarrow }}\Omega ^{3}M\ ,\quad \rho \mapsto \rho \,\det(\cdot ,\cdot ,\cdot )=\rho \,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}$

és egy 1-formához egy 2-formát

$\Omega ^{1}M{\overset {*}{\leftrightarrow }}\Omega ^{2}M\ ,\quad \left\langle {\vec {v}}\mid \cdot \right\rangle =v_{i}\mathrm {d} u^{i}\mapsto \det({\vec {v}},\cdot ,\cdot )=\epsilon _{\ jk}^{i}v_{i}\,\mathrm {d} x^{j}\wedge \mathrm {d} x^{k}$

Így egy differenciálható ${\vec {a}}$ vektormezőhöz nemcsak egy $a_{1}\mathrm {d} x^{1}+a_{2}\mathrm {d} x^{2}+a_{3}\mathrm {d} x^{3}$ 1-forma, hanem egy $a_{1}\,\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}+a_{2}\,\mathrm {d} x^{3}\wedge \mathrm {d} x^{1}+a_{3}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}$ 2-forma is hozzárendelhető. Egy differenciálható $f$ skalárfüggvényhez pedig hozzárendelhető egy $f$ 0-forma, illetve egy $f\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}$ 3-forma is.

Egy $k$-forma külső deriváltja egy $(k+1)$-forma keletkezik. A zenei operátorokkal és a Hodge-Stern-operátorral képződik a De-Rham-komplexus. Két külső derivált láncolása identikus nullával. Ebből levezethetők a vektoranalízis integráltételei, a Stokes-tétel, Gauß integráltétele és a Green-tétel.

Források

• Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage, 1. korrigierte Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2.
• Siegfried Kästner: Vektoren, Tensoren, Spinoren. Eine Einführung in den Tensorkalkül unter Berücksichtigung der physikalischen Anwendung. 2. verbesserte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1964.
• Murray R. Spiegel, Dennis Spellman, Seymour Lipschutz: Vector Analysis. Schaum’s Outlines. 2. Auflage. McGraw-Hill, 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.
• Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensoranalysis. 3. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-020696-8.
• Klaus Jänich: Vektoranalysis. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-23741-9.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Krummlinige Koordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.