Helyi idő (matematika)

A sztochasztikus folyamatok matematikai tárgyalásában a helyi idő egy sztochasztikus folyamat, mely kapcsolódik a molekuláris diffúzió jelenségéhez, mint például a Brown-mozgás, melyet az jellemez, hogy egy adott szinten egy időmennyiségben hol tartózkodnak a részecskék. A helyi idő hasznos fogalom a sztochasztikus folyamatok vizsgálatainál, gyakran fordul elő sztochasztikus integráloknál, ha az integrálandó függvény nem elegendően ’sima’, mint például a Tanaka-formulanál.

Formális meghatározás

$\ell (t,x)=\int \limits _{0}^{t}\delta (x-b(s))\,ds$

Ahol a b(s) a diffúziós folyamat és a δ a Dirac-delta függvény. Ezt a fogalmat Paul Lévy vezette be. Az alapötlet az, hogy ℓ(t, x) egy újraskálázott mértéke annak, hogy a b(s) (a diffúziós folyamat) mennyi időt tölt el x-től t-ig. Felírható:

$\ell (t,x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int \limits _{0}^{t}1\{x-\varepsilon <b(s)<x+\varepsilon \}\,ds,$

mely megmagyarázza, hogy miért hívják b helyi idejét x-nél.

Egy Ito-folyamat minta a helyi idő felületével

Irodalom

• K. L. Chung and R. J. Williams: Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition. (hely nélkül): Birkhäuser. 1990. ISBN 978-0-8176-3386-8  

Kapcsolódó szócikkek

• Brown-mozgás
• Tanaka-formula
• Diffúziós egyenletek
• Diffúzió
• Vörös zaj
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Helyi idő - csillagászati, földrajzi értelemben