Főmenü megnyitása


A mértékelméletben σ-additívnak nevezünk egy halmazfüggvényt, ha értelmezési tartományába tartozó diszjunkt halmazok megszámlálható unióján is értelmezve van, és az itt felvett értéke megegyezik az uniót alkotó halmazokon felvett értékeinek (esetleg végtelen) összegével. A σ-additív halmazfüggvény a területfogalom általánosítása.

HalmazfüggvényekSzerkesztés

Legyen A egy nemüres halmaz, és jelölje M az A részhalmazainak egy családját. Halmazfüggvénynek nevezzük az olyan leképezést, amelynek értelmezési tartománya  , értékkészlete pedig a   kiterjesztett számegyenes. Halmazfüggvény például a háromdimenziós euklideszi tér térfogattal bíró halmazain a térfogatfüggvény, de ilyen az egészek részhalmazain értelmezett számosságfüggvény is.

Additív halmazfüggvényekSzerkesztés

Egy   halmazfüggvényt akkor nevezünk additívnak, ha az értelmezési tartományabeli diszjunkt halmazpárok unióján is értelmezve van, és ott értéke az egyes halmazokon felvett értékek összege. Képletben: valahányszor

  és  

fennáll, teljesül a

 .

egyenlőség is.

Indukcióval belátható, hogy az additivitás kettőnél több (de véges sok) halmazra is kiterjeszthető, azaz ha X1, X2, X3, … Xn halmazok egy páronként diszjunkt családja, akkor

 

A σ-additivitás ennek a tulajdonságnak a kiterjesztése megszámlálhatóan sok Xi-re: ha X1, X2, X3, … halmazok egy páronként diszjunkt megszámlálhatóan végtelen családja, akkor

 


ForrásokSzerkesztés