Bernoulli-egyenlőtlenség

A Jakob Bernoulli svájci matematikusról[1] elnevezett Bernoulli-egyenlőtlenség a matematikai analízis egyik fontos tétele, amely szerint bármely valós szám és természetes szám esetén

A Bernoulli-egyenlőtlenség egy esetének ábrázolása. Itt pirossal, pedig kék színnel van ábrázolva és

Egyszerű, de fontos egyenlőtlenség, amivel egy hatványfüggvény alulról becsülhető.

A tétel bizonyításaSzerkesztés

A bizonyítás teljes indukcióval végezhető:[2]  -re nyilván egyenlőség áll és ha az állítás igaz  -re, akkor

 

ami a szorzás elvégzése után

 

Egyenlőség nyilván csak az  ,   vagy   esetben teljesül.

Megjegyzés:

A Bernoulli-egyenlőtlenségnél gyengébb   állítást sokkal körülményesebb teljes indukcióval bizonyítani.

Nemnegatív h-ra az egyenlőtlenség megkapható a binomiális tétel segítségével:

 

Rokon egyenlőtlenségekSzerkesztés

Szigorú egyenlőtlenségSzerkesztés

Ugyanígy nevezik Bernoulli-egyenlőtlenségnek a szigorú egyenlőtlenséget megkövetelő változatot is: Minden valós  -re és  -ra és minden   természetes számra

 .

A bizonyítás ugyanúgy végezhető teljes indukcióval, mint a nem szigorú változat.[1]

Valós kitevős hatványokSzerkesztés

Valós kitevőkre a deriváltak összehasonlításával az egyenlőtlenség a következőképpen általánosítható: Minden  -re

 , ha   és
 , ha  .

Különböző tényezőkSzerkesztés

Ha nem hatványt veszünk, hanem különböző tényezők szorzatát, akkor teljes indukcióval megmutatható, hogy

 

ahol minden  -re vagy  , vagy   teljesül, és      [1]

  -et helyettesítve és a   speciális esetet tekintve a Weierstraß-szorzategyenlőtlenséget kapjuk: [3],[4],[5]

 

AlkalmazásokSzerkesztés

Egy sorozat határértékeSzerkesztés

Állítás:

 

minden   valós számra.

Bizonyítás: Definiáljuk az   sorozatot a következőképpen:

 .

Ekkor a Bernoulli-egyenlőtlenség szerint

 ,

így

 .

De

 ,

tehát

 .

És végül

 

Exponenciális függvénySzerkesztés

Egyszerűsége ellenére a Bernoulli-egyenlőtlenség sokszor hasznosnak bizonyul becslésekben. Legyen rögzítve egy  . Ekkor   minden  -re. A Bernoulli-egyenlőtlenséggel

  minden  -re.

Mivel

 

azért beláttuk a

  minden  -re az

egyenlőtlenséget.

A számtani-mértani közép egyenlőtlenségeSzerkesztés

A Bernoulli-egyenlőtlenséget felhasználva teljes indukcióval:

Legyen   az   pozitív számok maximuma, és     számtani közepe. Ekkor  , és a Bernoulli-egyenlőtlenség folytán

 .

Az indukciós feltétellel

 ,

ami éppen az, amit bizonyítani akartunk.

A bizonyítás megtalálható például Heuser könyvében (H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Kapitel 12.2.)

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b c Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1., B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17
  2. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/
  3. Archivált másolat. [2007. szeptember 30-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. február 19.)
  4. http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassProductInequality.html
  5. http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml

ForrásokSzerkesztés

Császár Ákos: Valós analízis ISBN 978-963-19-0113-9