Főmenü megnyitása

A Boltzmann-tényező a fizika egyik szakterminusa, egy súlyzó tényező, amely meghatározza egy többállapotú rendszerben az i állapotban lévő részecske relatív valószínűségét, amikor a rendszer termodinamikus egyensúlyban van T hőmérsékleten.

Normál esetben a Boltzmann-tényezőt a kanonikus halmazok leírásánál alkalmazzák. A nagy kanonikus halmazok esetén a Gibbs-tényező használata előnyösebb, mely figyelembe veszi a részecske mozgását a rendszer és a környezet között. Annak a valószínűsége, hogy egy rendszer állapotban van:

ahol  :

a partíció függvény (statisztikai mechanika) a Boltzmann-állandó, a hőmérséklet az állapot energiája

A Boltzmann-tényező :

LevezetésSzerkesztés

Tekintsünk egy egyatomos rendszert   energia állapotokkal. Ez a rendszer kapcsolatban van egy hőtárolóval és a teljes energia:

 

ahol   a rendszer teljes energiája és a   a teljes tárolt energia. Egyensúlyban   és   állapotai száma   többszöröse. Így a teljes energia :

 

Az ekvipartíció-tételből következően annak valószínűsége, hogy egy atom   állapotban van, összefüggésben van a tároló állapotainak számával. Tekintsük a két valószínűség arányát:

 

az állapotok száma összefüggésbe hozható az entrópia elméletével a

  kifejezésen keresztül

amely adja:

 

Az alapvető termodinamikus összefüggésből következik, hogy a tároló (a kémiai potenciált elhanyagolva):

 

ahol   az entrópia,   a belső energia,   a nyomás, és   a térfogat.

Gázoknál indokolt feltételezni, hogy  , így:

 
 

Energia tároláskor:   and   melyből

  következik.

A valószínűség arányt behelyettesítve:

 

ahol   egy tetszőlegesen definiált jel, a Boltzmann-állandó és a hőmérséklet szorzatának reciproka. A változók szeparálása után írhatjuk:

 

és ezáltal:

 

MegjegyzésSzerkesztés

A Boltzmann-tényező önmagában nem egy valószínűség, mert nincs normalizálva. A normalizáló tényező egy osztva a partíciófüggvénnyel, amely a Boltzmann-tényezők összege a rendszer összes állapotára vonatkozóan. Ez adja a Boltzmann-eloszlást.

A Boltzmann-tényezőből le lehet vezetni a következő statisztikákat: Maxwell–Boltzmann-statisztika, a Bose–Einstein-statisztika, és a Fermi–Dirac-statisztika, amelyek leírja a klasszikus részecskék mozgását, valamint a kvantummechanika bozonjait és fermionjait.

IrodalomSzerkesztés

  • Charles Kittel, Herbert Kroemer: Thermal Physics. (hely nélkül): Freeman & Co.: New York. 1980.  
  • Wesson, John; et al: Tokamaks. (hely nélkül): Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-850922-7