Borsuk–Ulam-tétel

A Borsuk–Ulam-tétel azt állítja, hogy minden -t -be képező folytonos vektormezőhöz van két átellenes pont, amit a vektormező ugyanarra a vektorra képez. Stanisław Ulam sejtését Karol Borsuk látta be 1933-ban.

Speciálisan, az n=2 esetét is nevezik Borsuk–Ulam-tételnek. Ezt az esetet azzal szokás szemléltetni, hogy mindig van a Földön két átellenes pont, ahol a hőmérséklet és a légnyomás is megegyezik.

KövetkezményeiSzerkesztés

  •   nem képezhető le homeomorf módon   egy részhalmazába sem.
  • A sonkásszendvicstétel: adva legyen  -ben n test, amik minden irányban elfelezhetők hipersíkkal. Ekkor van egy hipersík, ami mindegyiket felezi.
  • Lusternik–Schnirelmann-tétel: akárhogy is fedjük le  -t n+1 nyílt halmazzal, mindig lesz köztük olyan, ami tartalmaz átellenes pontpárokat.

BizonyításSzerkesztés

Tegyük fel indirekt, hogy egy f(v) függvényre nem igaz a tétel, tehát előállítható a   egységvektormező. Ez egy páratlan függvény. Kiterjed a peremre, ezért körülfordulási száma nulla, de mivel páratlan, ezért a körülfordulási száma sem lehet páros, ez pedig ellentmondás.

ForrásokSzerkesztés

  • Szűcs András: Topológia