Ceva-tétel

Tétel: Az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban ($O$), ha

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ .

Ceva-tétel

Bizonyítás: Használjuk a Menelaosz-tételt az $ABE$ háromszögre :

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BO}{OE}}\cdot {\frac {EC}{CA}}=-1$.

Majd ugyanezt a $BCE$ háromszögre:

${\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CA}{AE}}\cdot {\frac {EO}{OB}}=-1$.

Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet:

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ .

Megjegyzés(trigonometrikus Céva-tétel):

A tétel eredeti formában nehezebb feladatoknál igen nehézkesen alkalmazható. Ezért a szinusztétel segítségével felírhatjuk trigonometrikus alakban is:

Az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha

${\frac {\sin DAC\sphericalangle }{\sin DAB\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin EBA\sphericalangle }{\sin EBC\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin FCB\sphericalangle }{\sin FCA\sphericalangle }}=1$.