Ceva-tétel

A Ceva-tétel a háromszögekben található szakaszokkal tesz fontos állítást. A tétellel a magasságtétel, szögfelező-tétel vagy az oldalafelezőkre vonatkozó tétel könnyen bizonyítható. A tételt eredetileg Giovanni Ceva olasz matematikus tette közzé 1678-ban.

Tétel

Az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban ($O$), ha

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ .

Ceva-tétel

Bizonyítás

Menelaosz tételével

Használjuk a Menelaosz-tételt az $ABE$ háromszögre:

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BO}{OE}}\cdot {\frac {EC}{CA}}=-1$.

Majd ugyanezt a $BCE$ háromszögre:

${\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CA}{AE}}\cdot {\frac {EO}{OB}}=-1$.

Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet:

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ .

Megjegyzés (trigonometrikus Céva-tétel)

A tétel eredeti formában nehezebb feladatoknál igen nehézkesen alkalmazható. Ezért a szinusztétel segítségével felírhatjuk trigonometrikus alakban is: az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha

${\frac {\sin DAC\sphericalangle }{\sin DAB\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin EBA\sphericalangle }{\sin EBC\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin FCB\sphericalangle }{\sin FCA\sphericalangle }}=1$.

Területekkel

Használjuk fel azt a tételt, miszerint az egyenlő magasaságú háromszögek területe arányos az alapjaikkal. Ekkor

${\frac {BD}{DC}}={\frac {t_{ABD}}{t_{ADC}}}={\frac {t_{OBD}}{t_{ODC}}}={\frac {t_{ABD}-t_{OBD}}{t_{ADC}-t_{ODC}}}={\frac {t_{ABO}}{t_{CAO}}}$

Hasonlóan kapjuk, hogy

${\begin{aligned}{\frac {CE}{EA}}&={\frac {t_{BCO}}{t_{ABO}}}\\{\frac {AF}{FB}}&={\frac {t_{CAO}}{t_{BCO}}}\end{aligned}}.$

A fenti arányokat összeszorozva kapjuk a tétel állítását:

${\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}={\frac {t_{ABO}}{t_{CAO}}}\cdot {\frac {t_{BCO}}{t_{ABO}}}\cdot {\frac {t_{CAO}}{t_{BCO}}}=1.$