Dirichlet-tétel

A számelméletben L. Dirichlet nevezetes tétele azt állítja, hogy minden

$a,a+q,a+2q,a+3q,\dots$

számtani sorozatban végtelen sok prím van, feltéve, hogy a és q>0 relatív prímek.

Írásban csak Dirichlet halála (1859) után látott napvilágot a tétel, a szerző Vorlesungen über Zahlentheorie c. posztumusz művében (először kiadva: 1863, későbbi kiadások: 1863-1894); ami kollégája, Richard Dedekind kiadásában jelent meg, és Dedekind csatolta (VI. számú függelékként) a könyvhöz. A Dirichlet-tétel volt az első jelentősebb analitikus számelméleti eredmény.

Egyszerű esetek

Számos speciális esetét könnyű bebizonyítani, az például, hogy végtelen sok 4k-1, alakú prím van, onnan adódik, hogy minden 4A-1 alakú számnak van ilyen prímosztója, ezért, ha csak véges sok ilyen lenne, ezek szorzatát A-ba írva ellentmondást kapunk. Hasonlóan kapjuk a 6k-1 alakú prímek esetét is. De tulajdonképpen a Fermat-számok tulajdonságaiból adódik, hogy végtelen sok 8k+1 (illetve 16k+1, 32k+1,…) alakú prím van, hiszen F₂, F₃,… prímosztói mind ilyen alakúak és ezek mind relatív prímek.

Ennél általánosabb és még mindig egyszerűen igazolható, hogy bármilyen q>1-re végtelen sok 1+kq alakú prímszám van. Ehhez elég igazolni Bauer Mihály tételét: ha a egész, akkor Φ_q(a) minden p prímosztója vagy osztja q-t vagy 1+kq alakú (itt Φ_q(x) a q-adik körosztási polinom). Legyen ugyanis a rendje d modulo q (azaz d a legkisebb, amire q osztója a^d-1-nek). Ez létezik, mert p nem oszthatja a-t. Mivel $p|\Phi _{q}(a)|a^{q}-1$, d osztója q-nak. A kis Fermat-tétel miatt d osztja p-1-et is. Ha d=q, készen vagyunk. Ha d<q, akkor a körosztási polinomok tulajdonságai miatt $\Phi _{q}(a)$, tehát az őt osztó p is osztója a

${\frac {a^{q}-1}{a^{d}-1}}$

számnak.

Ez viszont így fejthető ki:

${\frac {a^{q}-1}{a^{d}-1}}=(a^{d})^{{\frac {q}{d}}-1}+\cdots +1$

és itt a tagok mind 1 maradékot adnak p-vel osztva, tehát p osztója q/d-nek tehát q-nak.

Bizonyítás

Dirichlet az általa bevezetett karakterek és ún. L-sorok segítségével bizonyította. Ez a bizonyítás három lépésből áll:

1. az állítás visszavezetése arra, hogy egyik mod q L-függvénynek sem gyöke az s=1 érték,
2. a fenti kijelentés bizonyítása komplex karakterekre,
3. bizonyítása valós karakterekre (ez a lépés lényegesen nehezebb, mint az előző kettő).

Kiterjesztések, általánosítások

Linnyik tétele: van olyan L konstans, hogy a (fenti feltételt kielégítő) q differenciájú számtani sorozat legkisebb prímszáma legfeljebb q^L.

Dircihlet tételének az az esete, hogy végtelen sok 4k+1 alakú prím van, összekombinálva a kétnégyzetszám-tétellel azt adja, hogy végtelen sok $x^{2}+y^{2}$ alakú prímszám van.

Friedlander és Iwaniec bebizonyította hogy végtelen sok $x^{2}+y^{4}$ alakú prím is van, míg Roger Heath-Brown azt látta be, hogy végtelen sok $x^{3}+2y^{3}$ alakú prímszám van.