Főmenü megnyitása

Az algebra egyik alapvető ága az elemi algebra. Ez az algebra történetileg legkorábban kialakult ága, fő feladata a valós együtthatós algebrai egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek megoldása. (Az algebra további ágai a lineáris algebra és az absztrakt algebra) [forrás?].

Az elemi algebra megértésének előfeltétele a számtani alapműveletek ismerete. A számtanban konkrét számok szerepelnek, az elemi algebrában viszont már számokat reprezentáló szimbólumok, ún. változók is megjelennek.

Tartalomjegyzék

Számolási szabályokSzerkesztés

ÖsszeadásSzerkesztés

Az összeadás kommutatív művelet:

 

Az összeadás asszociatív művelet:

 

A kivonás az összeadás ellentéte. Egy negatív szám hozzáadása ekvivalens az ellentettjének kivonásával:

 

SzorzásSzerkesztés

A szorzás is kommutatív művelet:

 

A szorzás asszociatív művelet:

 

Az osztás a szorzás ellentéte. Egy számmal való osztás megfelel a szám reciprokával való szorzásnak:

 

HatványozásSzerkesztés

Azonos alapú hatványok szorzatában a kitevők összeadódnak:

 

Hatványozott hatványok esetében a kitevők összeszorzódnak:

 

DisztributivitásSzerkesztés

A szorzás az összeadásra nézve disztributív:

 

A hatványozás a szorzásra nézve szintén disztributív:

 

Nevezetes szorzatokSzerkesztés

Az elemi algebra eszköztárához tartoznak egyes könnyen belátható azonosságok, melyeket nevezetes szorzatoknak is hívunk:

 
 
 

Néha ide sorolják az alábbi azonosságokat is:

 
 
 

Egyenletek megoldásaSzerkesztés

Egyismeretlenes lineáris egyenletSzerkesztés

A lehető legegyszerűbb feladat az a lineáris egyenlet, amelynek csak egy ismeretlenje van. Például:

 

A megoldás technikája az, hogy az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végezzük, így az egyenlőség mindig fennmarad. Esetünkben levonunk mindkét oldalból 4-et:

 

azaz

 

Most osztjuk mindkét oldalt 2-vel

 

így adódik a megoldás

 

Általános esetben:

 

Mindkét oldalból b-t kivonva, majd osztva a-val adódik a megoldás:

 

Egyismeretlenes másodfokú egyenletSzerkesztés

A másodfokú egyenlet általános alakja a következő:

 

Megszorozva mindkét oldalt 4a-val adódik:

 

Hozzáadva mindkét oldalhoz  -et, majd levonva 4ac-t:

 

A bal oldalon egy nevezetes szorzat tartózkodik. Ezt kihasználva:

 

Mindkét oldalból gyököt vonunk:

 

Vonjunk ki mindkét oldalból b-t, s osszunk 2a-val, így adódik a két lehetséges megoldás x-re:

 

A   értéket szokás az egyenlet diszkriminánsának is nevezni. Észrevehető, hogy ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenlet két megoldása egybeesik. Ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.

Többismeretlenes lineáris egyenletrendszerekSzerkesztés

A többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek tárgyalása általános esetben a lineáris algebra témakörébe tartozik. Ebben a szócikkben csak elemi példákat mutatunk a három lehetséges esetre:

Egy megoldással rendelkezőSzerkesztés

Pontosan egy megoldása van az alábbi lineáris egyenletrendszernek:

 
 

A két egyenletet összeadva adódik, hogy

 

azaz

 

Behelyettesítve az első egyenletbe:

 

A megoldás tehát  .

Több megoldással rendelkezőSzerkesztés

Több lehetséges megoldása is van az alábbi egyenletrendszernek:

 
 

Tetszőleges   hármas megoldása a feladatnak bármely y értékre.

MegoldhatatlanSzerkesztés

Az alábbi lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása:

 
 

Mivel y-ra ellentmondó feltételek adottak, ezért ez egy paradoxon.

HivatkozásokSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Elementary algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.