Erdős–Mordell-egyenlőtlenség

Az Erdős–Mordell-tétel a következő geometriai egyenlőtlenség:

Ha az ABC háromszög belsejében levő P pont távolsága a csúcsoktól p,q,r, az oldalaktól x,y,z, akkor .

Ezt Erdős Pál sejtette meg, első bizonyítását a Középiskolai Matematikai Lapokban publikálta Louis Mordell.

BizonyításSzerkesztés

Legyenek ABC oldalai a, b, c. A következő állítást használjuk fel a bizonyításhoz:

 .

Ez egyenértékű az

 

egyenlőtlenséggel, ami nyilván igaz, mert a jobb oldal az AB oldalhoz tartozó magasság. Tükrözzük P pontot az ACB szögfelezőjére, képére alkalmazva a segédállítást: cr ay+bx. Hasonlóan adódik, hogy bq az+cx és ap bz+cy. Ezeket a megfelelő oldalakkal leosztva:

 ,

 ,

 .

A kapott három egyenlőtlenség összege pedig

 .

Mivel pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, ezért készen vagyunk. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha ABC szabályos háromszög és P a középpontja.

ForrásokSzerkesztés

  • L.J. Mordell: Egy geometriai probléma megoldása, Középiskolai Matematikai Lapok, 1935, 145-146.
  • Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest, 1986.