Erdős–Mordell-egyenlőtlenség

Az Erdős–Mordell-tétel a következő geometriai egyenlőtlenség:

Ha az ABC háromszög belsejében levő P pont távolsága a csúcsoktól p,q,r, az oldalaktól x,y,z, akkor $p+q+r\geq 2(x+y+z)$.

Ezt Erdős Pál sejtette meg, első bizonyítását a Középiskolai Matematikai Lapokban publikálta Louis Mordell.

Bizonyítás

Legyenek ABC oldalai a, b, c. A következő állítást használjuk fel a bizonyításhoz:

$cr\geq ax+by$.

Ez egyenértékű az

$r+z\geq {\frac {ax+by+cz}{c}}$

egyenlőtlenséggel, ami nyilván igaz, mert a jobb oldal az AB oldalhoz tartozó magasság. Tükrözzük P pontot az ACB szögfelezőjére, képére alkalmazva a segédállítást: cr$\geq$ay+bx. Hasonlóan adódik, hogy bq$\geq$az+cx és ap$\geq$bz+cy. Ezeket a megfelelő oldalakkal leosztva:

$r\geq (a/c)y+(b/c)x$,

$q\geq (a/b)z+(c/b)x$,

$p\geq (b/a)z+(c/a)y$.

A kapott három egyenlőtlenség összege pedig

$p+q+r\geq ({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}})x+({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}})y+({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}})z$.

Mivel pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, ezért készen vagyunk. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha ABC szabályos háromszög és P a középpontja.

Források

• L.J. Mordell: Egy geometriai probléma megoldása, Középiskolai Matematikai Lapok, 1935, 145-146.
• Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest, 1986.