Feltételes valószínűség

Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény már bekövetkezett vagy bekövetkezik. Jelölése P(A | B), szóban: A feltéve B.

Két eseménySzerkesztés

Ha A és B események, és B valószínűsége pozitív, akkor

 

ahol   annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik. Így is írják:   illetve  .

A feltételes valószínűség kiszámítására szolgáló képletet átalakítva:

 

Ha A és B független, akkor

 

Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:

 

ahol   a B esemény komplementerét jelöli.

A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:

 

Véges sok eseménySzerkesztés

Nemcsak két eseményt tekinthetünk, hanem többet is. Jelölje őket rendre  !

A két eseményre vonatkozó képletet általánosítva:

 

A számítás döntési fával modellezhető.

Teljes valószínűség tételeSzerkesztés

Az   esemény valószínűsége kiszámítható, ha ismert az   és   feltételes valószínűség, ahol   a   esemény be nem következése. Ekkor

 

Általában, legyen   teljes eseményrendszer, és   minden  -re. A teljes eseményrendszer a teljes   eseménytér partíciója. Ekkor

 

Folytonos valószínűségi változókSzerkesztés

Az   közös sűrűségfüggvényű X és Y folytonos valószínűségi változók feltételes valószínűsége

 .

Ha  , akkor értelmezhető X   feltételes sűrűségfüggvénye egy adott  -ra:

 .

X sűrűségfüggvénye is meghatározható:

 .

A teljes valószínűség tételével az   marginális sűrűségfüggvény Y-tól függetlenül is meghatározható, ha y szerint integráljuk az   függvényt.

Ügyelni kell arra, hogy a sűrűségfüggvény nem egyértelmű.  ,  , és   sűrűségfüggvényének megfelel minden olyan mérhető függvény, ami  ,   és  -re a megfelelő valószínűségeket adja. Az   függvénynek az

 

összefüggésnek kell eleget tennie.

FüggetlenségSzerkesztés

Két esemény együttes bekövetkeztét az események szorzatának, szorzateseménynek nevezzük. Két esemény, A és B akkor és csak akkor független, ha szorzateseményük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:

 

Ekkor, ha A és B is pozitív valószínűségű, akkor az egyik feltéve a másik feltételes valószínűségek megegyeznek a feltétel nélküliekkel:

 

és

 

Kizáró eseményekSzerkesztés

Két esemény kizárja egymást, ha nem következhetnek be egyszerre,   Például ilyen egy esemény és komplementere, vagy hogy a kockával hatost, vagy egyest dobunk-e. Két esemény akkor és csak akkor lehet kizáró is és független is, ha egyik az üres, másik ennek komplementere, a teljes esemény.

Mivel üres esemény valószínűsége nulla, ezért  . Így, ha B valószínűsége pozitív, akkor  .

ForrásokSzerkesztés

  • Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
  • Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya