Fibonacci-polinomok

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok definíciója (amely a kiszámítási módjukat is megadja) a következő:

(C és n természetes számok, lásd https://oeis.org/A011973 ):

$f_{1}(C,0)=0$

$f_{1}(C,1)=1$

$f_{1}(C,n+1)=Cf_{1}(C,n)+f_{1}(C,n-1)$.

Ha (n) értéke 1-től 13-ig változik, az alábbi táblázatot kapjuk:

(n=1) $(1)$

(n=2) $(C)$

(n=3) $(C^{2}+1)$

(n=4) $(C^{3}+2C)$

(n=5) $(C^{4}+3C^{2}+1)$

(n=6) $(C^{5}+4C^{3}+3C)$

(n=7) $(C^{6}+5C^{4}+6C^{2}+1)$

(n=8) $(C^{7}+6C^{5}+10C^{3}+4C)$

(n=9) $(C^{8}+7C^{6}+15C^{4}+10C^{2}+1)$

(n=10) $(C^{9}+8C^{7}+21C^{5}+20C^{3}+5C)$

(n=11) $(C^{10}+9C^{8}+28C^{6}+35C^{4}+15C^{2}+1)$

(n=12) $(C^{11}+10C^{9}+36C^{7}+56C^{5}+35C^{3}+6C)$

(n=13) $(C^{12}+11C^{10}+45C^{8}+84C^{6}+70C^{4}+21C^{2}+1)$

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok (páratlan n-ek esetében)

megkaphatók a következő formulával is:

$f_{1}(C,n)=\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n-1-k}{k}}C^{n-1-2k}$

Az alábbi függvény (a Binet-formula általánosítása) is azonos eredményre vezet

(ez a Fibonacci-polinomok kiszámításának legbonyolultabb módja):

$f_{1}(C,n)={\cfrac {\left({\cfrac {C+{\sqrt {C^{2}+4}}}{2}}\right)^{n}-\left({\cfrac {C-{\sqrt {C^{2}+4}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {C^{2}+4}}}$

A (2. számú) Fibonacci-polinomok

A Fibonacci-polinomoknak létezik egy másik "családja" is.

Ez abban különbözik, hogy a műveletek során nem az utolsó,

hanem az utolsó előtti polinomot kell szorozni a "D" konstanssal.

$f_{2}(D,0)=0$

$f_{2}(D,1)=1$

$f_{2}(D,n+1)=f_{2}(D,n)+Df_{2}(D,n-1)$

(n=1) $(1)$

(n=2) $(1)$

(n=3) $(1+D)$

(n=4) $(1+2D)$

(n=5) $(1+3D+D^{2})$

(n=6) $(1+4D+3D^{2})$

(n=7) $(1+5D+6D^{2}+D^{3})$

(n=8) $(1+6D+10D^{2}+4D^{3})$

(n=9) $(1+7D+15D^{2}+10D^{3}+D^{4})$

(n=10) $(1+8D+21D^{2}+20D^{3}+5D^{4})$

(n=11) $(1+9D+28D^{2}+35D^{3}+15D^{4}+D^{5})$

(n=12) $(1+10D+36D^{2}+56D^{3}+35D^{4}+6D^{5})$

(n=13) $(1+11D+45D^{2}+84D^{3}+70D^{4}+21D^{5}+D^{6})$

Zárt formula:

$f_{2}(D,n)=\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n-1-k}{k}}D^{k}$

Általános alak:

$f_{2}(D,n)={\cfrac {\left({\cfrac {1+{\sqrt {1+4D}}}{2}}\right)^{n}-\left({\cfrac {1-{\sqrt {1+4D}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {1+4D}}}$

(Megjegyzés)

Legfőbb különbség a két polinom-család között az, hogy az 1. Fibonacci-polinomok "hiányosak"

(vagy csupa páros, vagy csupa páratlan kitevőjű hatványt tartalmaznak).

(Megjegyzés Nr 2.)

Mindkét polinom-családban közös, hogy ha az együtthatókat összeadjuk,

akkor Fibonacci-számokat kapunk, például:

ha (n=11) $(1+9+28+35+15+1)=89$

vagy (n=13) $(1+11+45+84+70+21+1)=233.$

(Megjegyzés Nr 3.)

A rekurzió miatt, ha (n) értéke osztható (d)-vel, akkor $f_{1}(C,n)$ osztható $f_{1}(C,d)$-vel, illetve

$f_{2}(D,n)$ osztható $f_{2}(D,d)$-vel (akár konkrét számokról, akár polinomokról van szó).

(Megjegyzés Nr 4.)

Mindkét esetben, ha (n) értéke prímszám, akkor a hozzá tartozó polinom irreducibilis (a természetes

számok teste felett), ha (n) értéke összetett szám, akkor a hozzá tartozó polinom reducibilis.

(Megjegyzés Nr 5.)

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok általános alakjában szereplő ${\cfrac {C+{\sqrt {C^{2}+4}}}{2}}$ kifejezés

megkapható, mint az $x^{2}-Cx-1=0$ (másodfokú) egyenlet nagyobbik (pozitív) gyöke is,

továbbá ez a gyök egy állandó számokból álló ("homogén") lánctört határértéke is egyben:

$x_{1}={\cfrac {C+{\sqrt {C^{2}+4}}}{2}}=[C;C,C,C,C,C,C,C,\cdots ]=C+{\cfrac {1}{C+{\cfrac {1}{C+\cdots }}}}$.

ARANY, EZÜST ÉS FÉM-SZÁMOKAT ELŐÁLLÍTÓ POLINOMOK

A fent ismertetett két módszert kombinálni is lehet,

(amikor a C-vel és a D-vel való szorzást egy ütemben hajtjuk végre):

$f_{3}(C,D,0)=0$

$f_{3}(C,D,1)=1$

$f_{3}(C,D,n+1)=Cf_{3}(C,D,n)+Df_{3}(C,D,n-1)$

Polinomjaink (ha (n) értéke 1-től 13-ig változik) a következők:

(n=1) $(1)$

(n=2) $(C)$

(n=3) $(C^{2}+D)$

(n=4) $(C^{3}+2CD)$  

(n=5) $(C^{4}+3C^{2}D+D^{2})$

(n=6) $(C^{5}+4C^{3}D+3CD^{2})$

(n=7) $(C^{6}+5C^{4}D+6C^{2}D^{2}+D^{3})$

(n=8) $(C^{7}+6C^{5}D+10C^{3}D^{2}+4CD^{3})$

(n=9) $(C^{8}+7C^{6}D+15C^{4}D^{2}+10C^{2}D^{3}+D^{4})$

(n=10) $(C^{9}+8C^{7}D+21C^{5}D^{2}+20C^{3}D^{3}+5CD^{4})$

(n=11) $(C^{10}+9C^{8}D+28C^{6}D^{2}+35C^{4}D^{3}+15C^{2}D^{4}+D^{5})$

(n=12) $(C^{11}+10C^{9}D+36C^{7}D^{2}+56C^{5}D^{3}+35C^{3}D^{4}+6CD^{5})$

(n=13) $(C^{12}+11C^{10}D+45C^{8}D^{2}+84C^{6}D^{3}+70C^{4}D^{4}+21C^{2}D^{5}+D^{6})$

Vegyük az alábbi (másodfokú) egyenlet két gyökét

(ahol (C) természetes szám, (D) egész-szám):

$x^{2}-Cx-D=0$

$x_{1}={\cfrac {C+{\sqrt {C^{2}+4D}}}{2}}$

$x_{2}={\cfrac {C-{\sqrt {C^{2}+4D}}}{2}}$

Ezzel a két gyökkel (a Fibonacci-számokat generáló függvény mintájára)

megkonstruálhatunk egy (három-változós) függvényt:

$f_{3}(C,D,n)={\cfrac {(x_{1})^{n}-(x_{2})^{n}}{x_{1}-x_{2}}},$ azaz

$f_{3}(C,D,n)={\cfrac {\left({\cfrac {C+{\sqrt {C^{2}+4D}}}{2}}\right)^{n}-\left({\cfrac {C-{\sqrt {C^{2}+4D}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {C^{2}+4D}}}$

Ez a függvény (a hozzá tartozó polinomokkal együtt) "univerzális", mert

(I.) $(C=1)$ és $(D=1)$ esetén a "Fibonacci-számokat" állítja elő,

(II.) $(D=1)$ és $(C=2,3,4)$ esetén a "METAL-számokat" (ezüst, bronz, vörösréz) állítja elő,

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/FiboGene.htm

(III.)

$(C=6)$ és $(D=-1)$ esetében azokat a számokat, melyeknek a "négyzete háromszögszám", az

$M^{2}=N(N+1)/2$  (Diofantoszi) egyenlet egész (M) megoldásait:

(M = 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860,

1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790,

62072759630771, 361786555939836, 2108646576008245, 12290092900109634, 71631910824649559 ...).

(IV.)

$(D=1)$ és $(n=3)$ esetében a $(C^{2}+1)$ formulát kapjuk, ami $(C=2,4,16,256)$ esetében

a Fermat-féle prímszámokat állítja elő $(5,17,257,65537)$,

(V.)

$(C=3)$ és $(D=-2)$ esetében pedig Mersenne-számokat kapunk, képletük: $(M_{n}=2^{n}-1).$

Bármilyen meglepő, ebből az következik, hogy a "Mersenne-számok" is rekurzívak:

$M_{0}=0$

$M_{1}=1$

$M_{n+1}=3M_{n}-2M_{n-1}$