Gauss–Jordan-elimináció

Gauss-elimináció: legyen adott egy n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. Ha minden együttható és minden konstans nulla (azaz a bővített mátrix nullmátrix), akkor mindegyik egyenlet 0=0 alakú, és ezért minden szám-n-es megoldás. Ellenkező esetben az egyenletrendszert elemi átalakításokkal lépcsőssé alakíthatjuk.

Carl Friedrich Gauss és Wilhelm Jordan tiszteletére róluk nevezték el.

Mátrixok redukálása diagonális alakraSzerkesztés

Ez egy viszonylag könnyen megérthető módszer. Nagyon hasonlít a Gauss-eliminációra, csak annyi az eltérés, hogy az adott oszlop kinullázása mind a főátló alatti, mind a főátló feletti elemeket érinti. 4x4-es mátrix esetén az A mátrix alakulása a következőképpen történik:

 
 
 
 
 

nxn-es mátrix esetén az általános transzformációs képlet a k. oszlop nullázásánál

 

 

 ;  ;  

Abban az esetben ha nem csak az egyenletrendszer megoldása a kérdés, hanem az A mátrix inverze is érdekel minket, a módszer hatékonysága nem sokkal marad el a többi általános módszertől. Azonban ha a mátrix inverzére nincs szükségünk, a módszer lassúbb mint, a legjobb alternatív megoldás (Pl. az LU felbontás).

Egy lehetséges algoritmus a Gauss-Jordan kiküszöbölésreSzerkesztés

function GaussJordan(inout(aij),(bi) i,j=1...n)

  for k ← 1 to n do
     for i ← 1 to n do
        if (i != k) then
           l←aik / akk
           bi← bi-l*bk
           for j←k to n do
              aij←aij-l*akj
           end for
        end if
     end for
  end for
  return(aij),(bi)

Fontos még megjegyezni, hogy a Gauss-Jordan módszert sosem használjuk a főelem kiválasztás alkalmazása nélkül.

Inverzek megtalálásának módszereSzerkesztés

Ha a Gauss-Jordan eliminációt négyzet mátrixhoz alkalmazzuk, akkor használható a mátrix inverzének kiszámításához. Ez megtehető a négyzet mátrixnak ugyanazon dimenziók megegyező mátrixaival való fokozásával, a következő mátrix műveleten keresztül:

 

Ha az eredeti négyzet mátrix A,  , megfelel a következő kifejezésnek:

 

Azután az azonosság fokozásával a következő áll fenn:

 

Az alapvető számsorú műveletek végrehajtásával a mátrixon [AI] amíg A eléri a csökkentett számsorú lépcsős formát, a következő lesz a végső eredmény:

 

A mátrix növelése/fokozása/szaporítása most már megszüntethető, amely a következőt adja:

 

A mátrix nem szinguláris (mely azt jelenti, hogy van inverz mátrixa), ha az azonos mátrix elérhető csak alapvető számsori műveletekkel.

ForrásokSzerkesztés

  • Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69–80.
  • Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.
  • Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába; Polygon Kiadó; 2003