Főmenü megnyitása

A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni (egy Georg Cantor által adott körülírását ld. lentebb); de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik.

A modern matematika alapvető, egységes tárgyalásmódot és számos tudományos eredményt hozó hozzáállását fejezi ki az a kijelentés, miszerint végső soron minden, a matematika által vizsgált dolog: halmaz. Szakszerűbben fogalmazva, a matematika teljes egészének, de legalábbis minden hagyományosan vizsgált területének (számelmélet, geometria, valószínűségszámítás stb.) megadható a halmazelméleti modellje. Így, annak ellenére, hogy a halmazelmélet csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.

A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.

Tartalomjegyzék

Történet és áttekintésSzerkesztés

Fő szócikk: A halmazelmélet története

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.

A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

Főbb fogalmakSzerkesztés

A naiv halmazelméletben egy halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Azt, hogy   eleme az   halmaznak, így jelöljük:  .

Az axiomatikus halmazelméletben a halmaz és az eleme reláció alapfogalom, melyekre a halmazelmélet axiómái vonatkoznak.

Halmazok egyenlőségeSzerkesztés

Legyenek   és   tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az   és   halmazok egyenlőek, ha minden elemük megegyezik, és ezt így jelöljük:  .

Tetszőleges  ,  ,   halmazokra érvényesek a következő állítások:

  •  ; (reflexivitás)
  • ha  , akkor  ; (szimmetria)
  • ha   és  , akkor  ; (tranzitivitás)

RészhalmazSzerkesztés

 
 

Legyenek   és   tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy az   halmaz részhalmaza a   halmaznak (vagy más szavakkal: a   halmaz tartalmazza az   halmazt), ha az   minden eleme a   halmaznak is eleme. Ezt így jelöljük:  . Az   halmazt a   halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha  , és  .

Tetszőleges  ,  ,   halmazokra érvényesek a következő állítások:

  •  ; (reflexivitás)
  • ha   és  , akkor  ; (antiszimmetria)
  • ha   és  , akkor  ; (tranzitivitás)

Üres halmazSzerkesztés

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, és így jelöljük:  .

HatványhalmazSzerkesztés

Tetszőleges   halmaz összes részhalmazainak a halmazát, az   halmaz hatványhalmazának nevezzük, és  -val,  -val vagy  -val jelöljük. A   pontosan azt jelenti, hogy  .

HalmazműveletekSzerkesztés

Halmazok egyesítése és metszeteSzerkesztés

Legyenek   és   tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden   elemére teljesül, hogy   és/vagy  , az   és   halmazok egyesítésének (más szóval uniójának) nevezzük, és így jelöljük:  . Azt a halmazt pedig, amelynek minden   elemére teljesül, hogy   és  , az   és   halmazok metszetének nevezzük, és így jelöljük:  .

Ha  , akkor az   és   halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.

Tetszőleges   halmazokra érvényesek a következő állítások:

  •  ; (idempotencia)
  •  ; (idempotencia)
  •  ; (kommutativitás)
  •  ; (kommutativitás)
  •  ; (asszociativitás)
  •  ; (asszociativitás)
  •  ; (disztributivitás)
  •  ; (disztributivitás)

továbbá:

  •  
  •  
 
 
   
 
 
   
 
 

Halmazok különbsége és szimmetrikus különbségeSzerkesztés

Legyenek   és   tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden   elemére teljesül, hogy   és  , az   és   halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük:  . Az   halmazt pedig az   és   halmazok szimmetrikus különbségének hívjuk és  -vel szokás jelölni. .

Komplementer halmazSzerkesztés

Legyen adott valamely   halmaz. Ekkor tetszőleges   halmaz esetén az   halmazt az a   halmaz komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük.[1]

Halmazok Descartes-szorzata és Descartes-hatványaSzerkesztés

Tetszőleges   elemekre az   halmazt elempárnak nevezzük és  -vel jelöljük.

Tetszőleges  ,  ,  ,   elemekre   akkor és csak akkor teljesül, ha   és  , azaz az így definiált elempárok rendezett elempárok.

Legyenek   tetszőleges halmazok. Az   elempárok halmazát az   és   halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük és így jelöljük:  . Ha  , akkor Descartes-hatványról beszélünk.

Tetszőleges   halmazokra érvényes a következő állítás:

  •  ; (asszociativitás)

A halmazok direkt szorzata nem kommutatív művelet.

RelációSzerkesztés

Legyenek   tetszőleges halmazok. Az   halmaz részhalmazait az   és   halmazok közt értelmezett relációknak (vagy hozzárendeléseknek) nevezzük, és így jelöljük:  .

Parciális leképezés, leképezésSzerkesztés

Legyenek  ,   tetszőleges halmazok. A ρ:    -ból  -be történő megfeleltetést  -t  -be képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden    esetén legfeljebb egy olyan    van, amire  ∈ρ. A ρ:   A-ból  -be történő megfeleltetést  -t  -be képező leképezésnek nevezzük, ha minden    esetén pontosan egy olyan    van, amire  ∈ρ.

X és Y halmazokat ekvivalensnek nevezünk, ha létezik X-et Y-ra képező kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ez az ekvivalencia egy tranzitív, szimmetrikus, és reflexív reláció.

Halmazok számosságaSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges (azaz a halmaz elemeinek a száma véges), ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt egy valódi részhalmazába képezi le. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges   halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely   természetes számra létezik   bijekció.

Lásd mégSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

  • Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Totik Vilmos: Halmazelméleti feladatok és tételek, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1997)
  • Hajnal András & Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp (1994) ISBN 963-18-5998-3
  • Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N. J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
  • Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N. Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4