Környezet (matematika)

A topológiában és a matematika más részein a környezet egy alapvető fogalom. Intuitív módon úgy lehet leírni, hogy egy pont környezete az egy olyan halmaz ami tartalmazza magát a pontot úgy, hogy "van még hely" vagyis, hogy a pont "mozgatható" ezen a környezeten(halmazon) belül.

Egy halmaz a síkon csak akkor környezete a pontnak ha létezik egy olyan kellően kis sugarú körlap középponttal amelyet bennfoglal (vagyis amely részhalmaza -nek).
Egy téglalap nem a környezete egyetlenegy csúcsának sem (és az élt alkotó pontoknak sem).

Ez a fogalom szoros kapcsolatban áll a nyílt halmazokkal és a belső pontokkal.

DefinícióSzerkesztés

Ha  egy topologikus tér és  ,   egy pontja akkor,   egy környezete,   egy   részhalmaza aminek részhalmaza egy olyan   nyílt halmaz amely tartalmazza  -t, vagyis:

 

Ez azzal ekvivalens hogy   és, hogy  , a   egy belső pontja.

Jegyezzük meg, hogy magának a   környezetnek nem kell nyílt halmaznak lennie. Ha   nyílt akkor nyílt környezetnek vagy nyitott környezetnek is nevezik. Néhányan megkövetelik, hogy a környezetek nyitottak legyenek, ezért azt, hogy egy adott esetben mit értünk pontosan környezet alatt érdemes közölni.

Azok a halmazok amelyek az összes általuk tartalmazott pontnak a környezetei biztosan nyitottak hiszen felírhatóak nyílt halmazok uniójaként.

Egy pont összes környezetét tartalmazó halmazt az adott pont környezet-rendszernek nevünk.

Ha   az   topologikus tér egy részhalmaza akkor az   környezetén egy olyan   halmazt értünk ami mágában foglal egy nyílt   halmazt ami magában foglalja  -t. Ebből következik, hogy egy   halmaz akkor és csak akkor környezete egy   halmaznak ha az környezete   minden pontjának. Továbbá, adott, hogy   akkor és csak akkor környezete  -nek ha   részhalmaza   összes belső pontja által alkotott halmaznak (vagyis  -nak, ahol   a   határát jelöli).

Metrikus terekbenSzerkesztés

 
Egy   halmaz a síkban és az   halmaz egy uniform környezete,  . (Szaggatottal jelölve egy  -sugarú „gömböt” amely középpontja az   egyik „csúcsa”, ill. az összes   halmaz uniója által alkotott halmaz.)

Egy   metrikus térben egy   halmaz a   pont környezete ha létezik egy nyitott gömb   középponttal és   sugárral úgy, hogy:

 

részhalmaza  -nek (vagyis   belső pontja  -nek).

 -t az   halmaz uniform környezetnek hívják ha létezik olyan pozitív   szám, hogy bármely   elemre teljesül, hogy:

 

részhalmaza  -nek (vagyis ha   megválasztása nem függ magától a   elemtől, hanem csakis az   és a   halmazok jellegétől).

Bármely  -ra és  -re értelmezett egy  -környezet   ami azon pontok halmaza amelyek elemei  -nek és a távolságuk   egy elemétől kisebb mint  . (Vagy egy másik ekvivalens definíció alapján,    az uniója az összes nyitott   sugarú gömbnek amelyek középpontja   valamely pontja).

Ismert, hogy bármely  -környezet uniform környezet, ill., hogy egy halmaz akkor és csak akkor uniform környezet ha tartalmaz egy  -környezetet valamilyen  -val.

Topológia környezetekbőlSzerkesztés

Egy lehetséges definíciója a topológiáknak az, hogy először is definiáljuk pontok környezet-rendszerét majd ennek segítségével definiáljuk a nyílt halmazokat úgy, mint olyan halmazok amelyek minden pontjukhoz tartalmaznak egy környezetet is.

Ezután   minden környezet-rendszerének uniójához létrehozunk egy   halmazt minden  -re amely   részhalmazaiból áll, és amelyre igazak az alábbiak:

  1. az   pont eleme az összes  -nek.
  2. minden   bennfoglal egy   halmazt, úgy hogy bármely  -re,  .

Bizonyítható, hogy a topológia mindkét definíciója ekvivalens vagyis, hogy ekvivalens a definíció amiben a környezet-rendszert nyitott halmazokkal definiáljuk, és az a definíció amely a környezet-rendszer segítségével definiálja a nyitott halmazokat és a topológiát (lásd fent).

ForrásokSzerkesztés