Környezet (matematika)

Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. január 20.

A topológiában és a matematika más részein a környezet egy alapvető fogalom. Intuitív módon úgy lehet leírni, hogy egy pont környezete egy olyan halmaz, ami tartalmazza magát a pontot úgy, hogy „van még hely”, vagyis hogy a pont „mozgatható” ezen a környezeten (halmazon) belül.

Egy halmaz a síkon csak akkor környezete a pontnak, ha létezik egy olyan kellően kis sugarú körlap középponttal, amelyet bennfoglal (vagyis amely részhalmaza -nek).
Egy téglalap nem a környezete egyetlenegy csúcsának sem (és az élt alkotó pontoknak sem).

Ez a fogalom szoros kapcsolatban áll a nyílt halmazokkal és a belső pontokkal.

Definíció

szerkesztés

Ha   egy topologikus tér, és    -nek egy pontja, akkor   egy környezete  -nek egy olyan   részhalmaza, amelynek részhalmaza egy olyan   nyílt halmaz, amely tartalmazza  -t, vagyis:

 

Ez azzal ekvivalens, hogy  , és hogy   a   egy belső pontja.

Jegyezzük meg, hogy magának a   környezetnek nem kell nyílt halmaznak lennie. Ha   nyílt, akkor nyílt környezetnek vagy nyitott környezetnek is nevezik. Néhányan megkövetelik, hogy a környezetek nyitottak legyenek, ezért azt, hogy egy adott esetben mit értünk pontosan környezet alatt, érdemes közölni.

Azok a halmazok amelyek az összes általuk tartalmazott pontnak a környezetei biztosan nyitottak, hiszen felírhatóak nyílt halmazok uniójaként.

Egy pont összes környezetét tartalmazó halmazt az adott pont környezet-rendszerének nevünk.

Ha   az   topologikus tér egy részhalmaza, akkor az   környezetén egy olyan   halmazt értünk, ami magában foglal egy nyílt   halmazt, ami magában foglalja  -t. Ebből következik, hogy egy   halmaz akkor és csak akkor környezete egy   halmaznak, ha az környezete   minden pontjának. Továbbá adott, hogy   akkor és csak akkor környezete  -nek, ha   részhalmaza   összes belső pontja által alkotott halmaznak (vagyis  -nak, ahol   a   határát jelöli).

Metrikus terekben

szerkesztés
 
Egy   halmaz a síkban és az   halmaz egy uniform környezete,  . (Szaggatottal jelölve egy   sugarú „gömböt” amely középpontja az   egyik „csúcsa”, ill. az összes   halmaz uniója által alkotott halmaz.)

Egy   metrikus térben egy   halmaz a   pont környezete ha létezik egy nyitott gömb   középponttal és   sugárral úgy, hogy:

 

részhalmaza  -nek (vagyis   belső pontja  -nek).

 -t az   halmaz uniform környezetének hívják, ha létezik olyan pozitív   szám, hogy bármely   elemre teljesül, hogy:

 

részhalmaza  -nek (vagyis ha   megválasztása nem függ magától a   elemtől, hanem csakis az   és a   halmazok jellegétől).

Bármely  -ra és  -re értelmezett egy  -környezet  , ami azon pontok halmaza, amelyek elemei  -nek és a távolságuk   egy elemétől kisebb, mint  . (Vagy egy másik ekvivalens definíció alapján,   az uniója az összes nyitott   sugarú gömbnek, amelyek középpontja   valamely pontja).

Ismert, hogy bármely  -környezet uniform környezet, ill., hogy egy halmaz akkor és csak akkor uniform környezet ha tartalmaz egy  -környezetet valamilyen  -val.

Topológia környezetekből

szerkesztés

Egy lehetséges definíciója a topológiáknak az, hogy először is definiáljuk pontok környezet-rendszerét, majd ennek segítségével definiáljuk a nyílt halmazokat úgy, mint olyan halmazok, amelyek minden pontjukhoz tartalmaznak egy környezetet is.

Ezután   minden környezet-rendszerének uniójához létrehozunk egy   halmazt minden  -re amely   részhalmazaiból áll, és amelyre igazak az alábbiak:

  1. az   pont eleme az összes  -nek.
  2. minden   bennfoglal egy   halmazt, úgy hogy bármely  -re,  .

Bizonyítható, hogy a topológia mindkét definíciója ekvivalens, vagyis hogy ekvivalens a definíció, amiben a környezet-rendszert nyitott halmazokkal definiáljuk, és az a definíció, amely a környezet-rendszer segítségével definiálja a nyitott halmazokat és a topológiát (lásd fent).