Főmenü megnyitása

Az kettősviszony egy egyenes (pontsor) négy pontjára illetve egy sugársor négy elemének kölcsönös elhelyezkedésére jellemző viszonyszám. A projektív geometria fontos alapfogalma: centrális vetítéskor a távolságok és a szögek változnak, a kettősviszony megmarad (invariáns). Ezt Papposz egyik fontos tétele biztosítja.

Tartalomjegyzék

ÉrtelmezéseSzerkesztés

Az   pontnégyes   kettősviszonya az   és   egyszerű- vagy osztóviszonyok hányadosa (viszonya):

  • ( 

A három pont viszonylagos helyzetét jellemző osztóviszonyt szakaszok hányadosa definiálja:

  •   ,
  •   .

A pontnégyes és a sugárnégyes kettősviszonya:

 

  •   ,

 

  •   .

A formulákban szereplő szakaszok és szögek irányítottak, előjelesek.  

Néhány példa az osztóviszonyra:

  - felezőpont,

  - harmadoló pont (A-hoz közelebbi),

  - harmadoló pont (B-hez közelebbi),

 

 

Néhány példa a kettősviszonyra:

 

 

 

 

 

 .

Harmonikus négyesSzerkesztés

 

Különös fontosságú az olyan pontnégyes, amelynek kettősviszonya  . Ez csak úgy lehet, hogy X és Y közül az egyik pont az AB szakaszon, másik azon kívül helyezkedik el, s az osztóviszonyokra pedig teljesül:  

Papposz tételeSzerkesztés

Ha az egy pontra illeszkedö   egyenesek egy, a közös pontjukra nem illeszkedő egyenest rendre az   pontokban metszenek, akkor  

A tétel egyszerű következménye, hogy ha két egyenest metsz a sugársor, akkor az egyik egyenesen a metszéspontok kettősviszonya a másik egyeneseken keletkező vetületüknek a kettősviszonyával egyezik:  . Hasonló összefüggés igazolható a közös egyenesre illeszkedő sugársorok négyeseire:  .

IrodalomSzerkesztés

  • Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.