Lagrange-féle középértéktétel

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel

A tétel állításaSzerkesztés

Ha f folytonos függvény a zárt   intervallumban és differenciálható a nyílt   intervallumban, akkor van olyan   szám, amire

 

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

BizonyításSzerkesztés

A tételt visszavezetjük speciális esetére, a Rolle-tételre. Legyen  -re

 

A g függvény nyilván folytonos az   intervallumban és a belső pontokban

 

Továbbá

 

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire  , azaz

 

ÁltalánosításSzerkesztés

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.

A tétel magasabb dimenziókbanSzerkesztés

Legyen   az   szakaszon differenciálható függvény ( esetén az   szakaszon az   pontokat értjük). Ekkor van olyan  , amelyre

 

teljesül.

BizonyításSzerkesztés

Legyen   ez   függvény. Mivel   differenciálható a   intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz  , hogy

 

g definícióját beírva:

 

  jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.