Mértani-harmonikus közép

A matematikában két pozitív szám, x és y mértani-harmonikus közepe így definiálható: Legyen g1 a két szám mértani közepe, és harmonikus közepük h1. Ezek kiszámíthatók egymás után vagy párhuzamosan.

A kapott két számmal megismételve a műveletet kapjuk a g2 és a h2 számokat. Iterálva az eljárást kapjuk a (gn) és (hn) sorozatokat:

és

Ez a két sorozat ugyanahhoz a határértékhez tart, ami a kiindulási két szám mértani-harmonikus közepe. Nevezik harmonikus-mértani középnek is.

TulajdonságokSzerkesztés

A mértani-harmonikus közép, M(xy) x és y mértani és harmonikus közepe közé esik. M(xy) homogén is, azaz har > 0, akkor (rxry) = r M(xy).

Ha AG(x, y) a számtani-mértani közép, akkor

 

EgyenlőtlenségSzerkesztés

A pitagoraszi közepek és az iterált pitagoraszi közepek között az alábbi egyenlőtlenségek teljesülnek:

 

ahol

  • H(xy) a harmonikus közép,
  • HG(xy) a harmonikus–mértani közép,
  • G(xy) = HA(xy) a mértani közép, ami egyenlő a harmonikus-számtani középpel
  • GA(xy) a mértani-számtani közép,
  • A(xy) a számtani közép.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Geometric–harmonic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.