Főmenü megnyitása

A Minkowski-dimenzió vagy Minkowski–Bouligand-dimenzió (ismert dobozdimenzió és kapacitásdimenzió néven is), egy eljárás halmazok, főleg fraktális halmazok dimenziójának kiszámítására. Hasonlít a jóval népszerűbb Hausdorff-dimenzióra, de annál könnyebben kezelhető módszert ad.

Általában bármilyen (X,d) metrikus térben lévő S halmaz dimenzióját ki lehet vele számolni, de legtöbbször Rn-beli halmazokra szorítkozunk.

Mint a neve is mutatja, egyszerű leszámlálással határozhatjuk meg a halmaz dimenzióját, a halmazt egyenlő méretű „kockákkal” lefedjük, és vizsgáljuk, hogyan változik a szükséges kockák mennyisége az élhossz függvényében. Ha ez a függvény konvergens, akkor a határértéke lesz a halmaz dimenziója.

Tartalomjegyzék

DefiníciójaSzerkesztés

Legyen   halmaz és  . Fedjük le S-t r élhosszúságú diszjunkt kockákkal, azaz keressük azt a legkisebb F halmazt, ami előáll r élhosszúságú diszjunkt kockák uniójaként és  . Legyen e kockák száma Nr. Ha az élhosszt változtatjuk, akkor természetesen Nr is változik, azaz értelmezhető az Nr(S) sorozat. Ha ez a sorozat konvergens, akkor S Minkowski-dimenziója

 

A lefedő halmaz miatt az így definiált dimenziót külső dimenziónak is nevezik.

Ha a határérték nem létezik, akkor is értelmezhető a fedő és az S által lefedett két halmaz, ezek elemszámának limesz szuperiorja és limesz inferiorja lesz a halmaz külső és belső dimenziója.

Kockázás helyett lehetséges a sok esetben kényelmesebben kezelhető Rn-beli gömböket is használni. Ennek a hátránya, hogy nem diszjunkt halmazokkal tudjuk csak lefedni S-t, viszont az elv természetesen vihető át más halmazokra. Az értelmezés ugyanaz marad, csak itt nem a fedő gömbök számát kell érteni, hanem a legkevesebb fedő gömböt tartalmazó halmaz elemszámát.

TulajdonságaiSzerkesztés

 
  • A „klasszikus” ponthalmazokra a hagyományos dimenzióval azonos értéket ad, azaz egy négyzet dimenziója kettő, a körvonalé 1, stb. Annyival erősebb a hagyományos dimenziófogalomnál, hogy a síkidomoktól eltérő ponthalmazok esetén is jól értelmezhető, az elvárthoz közeli értéket ad.
  • Egyenértékű azzal, hogy arányos a lefedő kockák élhosszának egy megfelelő hatványával:
 

KiszámításaSzerkesztés

PéldaszámításSzerkesztés

Szakasz Minkowski-dimenziójaSzerkesztés

Vegyünk egy a hosszúságú szakaszt. Ezt le tudjuk fedni   oldalhosszúságú négyzetekkel, ahol  , méghozzá n darabbal. Így a lefedő négyzetek száma

 ,

amit a definícióba írva kapjuk, hogy

 .

A határérték alatti összeg első tagjának értéke 0[1], a kifejezés második tagja pedig triviálisan 1, így

 , amit el is vártunk.

Körvonal Minkowski-dimenziójaSzerkesztés

A körvonal esetén egy kicsit más módszerhez folyamodunk, ami majd a véletlen fraktálok esetén lesz hasznos. Lényegében nem az   sorozatot határozzuk meg, hanem ennek bizonyos r értékekre felvett értékét, majd ebből próbálunk következtetni a dimenzióra. Egyszerűbb esetekben könnyen fel tudjuk írni a megfelelő sorozatot, és így a határérték megállapítható. Ez a helyzet jelen esetben is.

Ha a kört egy négyzettel lefedjük, majd a négyzet oldalain n egyenletesen elhelyezkedő osztópontot veszünk fel, akkor könnyen leszámolhatjuk, hogy a körvonal hány négyzetet metsz.[2] Így a következő sorozatot kapjuk:

Osztópontok száma
( )
Lefedett négyzetek
( )
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20

Láthatóan a sorozat az   alakot ölti. Innen a dimenzió már könnyedén meghatározható:

 ,

ahogy az elvárásunk is volt.

Sierpiński-szőnyeg dimenziójaSzerkesztés

 
Sierpiński-szőnyeg

A Sierpiński-szőnyeg egy kellemesen egyszerű fraktál a Minkowski-dimenzió számítására. A következő iteráció segítségével lehet létrehozni egy négyzetből:

  1. A négyzetet oszd fel kilenc egyenlő részre az oldalak harmadolópontjainál
  2. A középső négyzetet vágd ki
  3. Ismételd a megmaradó négyzetekkel

Mivel a Minkowski-dimenzió a lefedésekkel jellemezhető, a fenti iteráció egyben kiszámítási módot is ad. A négyzetek élhossza ugyanis n iterációs lépés után  , a lefedő négyzetek száma pedig  . Ezeket a definícióba helyettesítve kapjuk:

 [3]

Véletlen fraktálokSzerkesztés

A véletlen fraktálok esetén reményünk sincsen analitikus alakban felírni a ponthalmaz függvényét, ezért az egyetlen módszer az marad, hogy a fedő téglát n részre osztva felvesszük az N(n) függvényt, és annak viselkedéséből következtetünk a dimenzióra. Ilyen módon ugyanis kaphatunk egy   közelítő sorozatot, aminek konvergenciája esetén a határérték lesz a fraktál dimenziója:

 ,

ami éppen a definíciós képlet, mivel n a tégla élhosszának reciproka.

Természetesen ez az eljárás nem véletlen fraktálok esetén is alkalmazható.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Ez három egyszerű állítás következménye:
    •  
    •   esetén  
    •  
  2. Az világos, hogy ekkor a négyzetek oldalhossza:  , amit átrendezve már behelyettesíthetünk a definíciós kifejezésbe.
  3. Megjegyzendő, hogy a szőnyeg Hausdorff-dimenziója is pontosan ugyanennyi.

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Box-counting dimension című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.