Paraméteres egyenletrendszer
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
Paraméteres módon adunk meg egy görbét, ha a görbét (vagy felületet esetleg más függvényt) definiáló olyan egyenletrendszert adunk meg, amely a görbe tetszőleges pontjának koordinátáit segédváltozók segítségével fejezik ki.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Butterfly_transcendental_curve.svg/200px-Butterfly_transcendental_curve.svg.png)
Egyszerű példa: egy síkgörbe leírható úgy, hogy valamilyen menetrend szerint bejárjuk a görbe útvonalát. Paraméternek ekkor a t időt választhatjuk, paraméteres egyenletekként meg lehet adni a görbe minden egyes pontja x és y koordinátája eléréséhez szükséges időt (a paramétert) az út megkezdésétől számítva. Ez a példa azt is megvilágítja, hogy egy görbe (például egy egyenes vagy kör) útvonal végtelen sokféle menetrend szerint bejárható, így végtelen sokféle paraméteres egyenlet írhatja le ugyanazt a görbét, felületet vagy függvényt.
Példák
szerkesztésPéldául a parabola legegyszerűbb egyenletét:
át lehet írni paraméteres alakba t független paramétert választva:
Bár az előző példa némiképp triviális volt, vegyük az a sugarú kör parametrikus egyenletrendszerét:
Többdimenziós görbék leírására kényelmesebb paraméteres egyenletrendszereket választani. Például a
egyenletrendszer egy a sugarú, 2πb menetemelkedésű térbeli (háromdimenziós) csavarvonalat ír le. (megjegyzendő, hogy az x és y koordináta paraméteres egyenlete megegyezik a kör egyenleteivel, így az mondható, hogy a kör olyan csavarvonal, melynek menetemelkedése 0, illetve a csavarvonal olyan kör, melynek vége nem ugyanazon a z értéken van, mint a kezdőpontja.)
Az ilyen kifejezések összevonva így írhatók:
A görbék megadása ilyen módon nemcsak praktikus, hanem hatékony is, például integrálható vagy deriválható az ilyen görbe változónként. Így például egy részecske sebessége megadható így is, ha az r(t) út-idő függvény paraméteres alakban is ismert:
gyorsulása pedig:
Általában a paraméteres görbe egy független paraméter függvénye (amelyet általában t-vel jelölnek). Két vagy több független paraméter esetét lásd a paraméteres felületek szócikknél.
Paraméteres egyenletrendszer konverziója egyetlen egyenletre
szerkesztésA paraméteres egyenletek konverziója egyetlen egyenletre az egyik (általában az egyszerűbb egyenlet) megoldását jelenti a paraméterre. Ezután a paraméter megoldását be kell helyettesíteni a másik egyenletbe, majd az eredményt általában egyszerűsíteni kell.