Shapiro-egyenlőtlenség

A Shapiro-egyenlőtlenség egy egyenlőtlenség, melyet Harold Shapiro vetett fel 1954-ben.

Az egyenlőtlenség állításaSzerkesztés

Amennyiben n páros és legfeljebb 12 vagy n páratlan és legfeljebb 23, akkor:

 ,

ahol  .

A probléma eredeti felvetése nagyobb n-eket is megengedett, ám ezekre az állítás nem igaz, az alsó határ pedig  , ahol  .

Az n = 12 (Godunova és Levin, 1976) és n = 23 (Troesch, 1989)-re adott eredeti bizonyítások számolásokon alapulnak, de 2002-ben P.J. Bushell és J.B. McLeod adott az n = 12 esetre egy analitikus bizonyítást.

A γ értékét Vladimir Drinfeld határozta meg 1971-ben. Pontosabban, Drinfeld bemutatta, miszerint γ-t a   adja meg, ahol ψ a konvex burokfüggvénye az f(x) = e-x és   függvények együttesének (azaz a ψ fölötti terület f és g konvex burka).

Igazak továbbá azon állítások, hogy f(x1,x2,...,xn)-nel jelölve a fenti egyenlőtlenség bal oldalát, f(x1,x2,...,xn)+f(xn,xn-1, ..., x1)  n, továbbá az eredeti egyenlőtlenség is igaz monoton xi-sorozatokra.

Ellenpéldák nagyobb n-ekreSzerkesztés

Az első ellenpéldát Lighthill találta meg 1956-ban, n = 20-ra:

  ahol   elég közel van 0-hoz.

Ekkor a bal oldal  , így kisebb 10-nél, ha   elég kicsi.

Ellenpélda n = 14-re Troesch által (1985):

  = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40) (Troesch, 1985).

Ellenpélda n=25-re:

  = (32, 0, 37, 0, 43, 0, 50, 0, 59, 8, 62, 21, 55, 29, 44, 32, 33, 31, 24, 30, 16, 29, 10, 29, 4)

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Shapiro's inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

ForrásokSzerkesztés