Simpson-módszer

A numerikus analízisben a Simpson-módszer egy numerikus integrálási módszer, amellyel a határozott integrál numerikus értékét közelítjük meg, mégpedig a következő képlettel:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]

.

A módszer Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus munkája.

Levezetés szerkesztés

A Simpson-módszert többféleképpen is levezethetjük.

Középpont és trapéz szabály szerkesztés

Lényegében az

\int _{a}^{b}f(x)\,dx:

az f (x) függvény x tengellyel bezárt területét jelenti. Ezt a területet megközelíthetjük kétféleképpen, mégpedig a középpont-szabállyal:

M=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)

és a trapéz-szabállyal:

T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).

A közelítés úgy lesz a legpontosabb, ha a következő súlyozott közepet vesszük:

{\frac {2M+T}{3}}.

S ha elvégezzük a szükséges számításokat, akkor megkapjuk a Simpson szabályt.

Algoritmus szerkesztés

A függvény, amit integrálni szeretnénk: $f(x)=e^{x}$ , a $[0,5]$ intervallumon, 10-es felosztással.

import math
def Fx(x):
    return math.exp(x)
def SimpsonIntegralas(a,b,n):
    h=(b-a)/n
    x=a+h
    s=0.0
    for i in range (1, n/2, 1):
        s=s+2*Fx(x)+Fx(x+h)
        x=x+2*h
    return h/3*(2*s+Fx(a)+Fx(b)+4*Fx(b-h))
print 'Simpsonintegral:', SimpsonIntegralas(0.0,5.0,10)

Az algoritmus a 147.4628 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131

3/8 Simpson-módszer szerkesztés

Ez a módszer egy pontosabb numerikus integrálási módszer, amelyet szintén Thomas Simpson javasolt. Itt a következőképpen közelítjük meg az integrált:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]={\frac {(b-a)}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right].

Ez a módszer körülbelül kétszer olyan pontos, mint a hagyományos, de felhasznál még egy függvényértéket.

Hivatkozások szerkesztés

Atkinson, Kendall A.. An Introduction to Numerical Analysis, 2nd, John Wiley & Sons (1989). ISBN 0-471-50023-2
Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas. Numerical Analysis, 7th, Brooks/Cole (2000). ISBN 0-534-38216-9
Matthews, John H.: Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration. Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton, 2004. [2008. december 4-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2008. november 11.)
Press, William H., Brian P. Flannery, William T. Vetterling, and Saul A. Teukolsky. Numerical Recipes in Pascal: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press (1989). ISBN 0521375169
Süli, Endre and Mayers, David. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press (2003). ISBN 0-521-81026-4 (hardback), ISBN 0-521-00794-1 (paperback)
Numerical Methods with Applications, 2008.
Weisstein, Eric W.: Newton-Cotes Formulas. MathWorld--A Wolfram Web Resource.. MathWorld, 2010. (Hozzáférés: 2010. augusztus 2.)