„Banach–Tarski-paradoxon” változatai közötti eltérés

a
nincs szerkesztési összefoglaló
a (r2.6.3) (Bot: következő hozzáadása: simple:Banach–Tarski paradox)
a
A bizonyítás lépései részletesen:
 
'''1. lépés''' Az ''a'' és ''b'' által generált [[szabad csoport]] álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az ''a'', ''a''<sup>-1</sup>, ''b'' és ''b''<sup>-1</sup> karakterekből áll, úgy hogy ''a'' nincs ''a''<sup>-1</sup>, és ''b'' nincs ''b''<sup>-1</sup> mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a "tiltott"„tiltott” karaktereket kitöröljük (az [[egységelem]]mel helyettesítjük). Pl.:''abab''<sup>-1</sup>''a''<sup>-1</sup> összefűzve a ''abab''<sup>-1</sup>''a''-val ''abab''<sup>-1</sup>''a''<sup>-1</sup>''abab''<sup>-1</sup>''a''-t eredményezi, amiből ''b''<sup>-1</sup>''a''<sup>-1</sup>''ab'' törlése után ''abaab''<sup>-1</sup>''a'' marad. A karakterláncok ezen halmaza az összefűzés műveletével [[csoport]] az üres
karakter <math>e</math> egységelemmel. Ezt a csoportot <math>F_2</math>-nek nevezzük.
 
:<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
 
A ''a'' ''S''(''a''<sup>-1</sup>) jelentése, hogy minden ''S''(''a''<sup>-1</sup>)-beli sztringet balról összefűzünk ''a''-val. Ez a bizonyítás egyik kulcsmomentuma. Most tekintsük a következőt: <math>F_2</math>-t négy részhalmara osztjuk - ''S''(''a''), ''S''(''a''<sup>-1</sup>), ''S''(''b'') és ''S''(''b''<sup>-1</sup>) - (az <math>e</math> ezekben nincs benne, de ezzel ne foglakozzunk, mert a továbbiakban nem lesz jelentősége), aztán "eltoljuk"„eltoljuk” ''S''(''a''<sup>-1</sup>)-t és ''S''(''b''<sup>-1</sup>)-t rendre ''a''-val és ''b''-vel való szorzással, majd képezzük az egyenlőségek szerinti uniókat, azaz elértük hogy a <math>F_2</math>-t létrehozzuk a 4 részhalmazból kétféleképpen, csupán 2-2 uniójával. Pont ez az amit a gömbökkel akarunk csinálni.
'''2. lépés''' A 3 dimenzióban a <math>F_2</math>-höz hasonlóan viselkedő (vele [[izomorf]]) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli - π irracionális többszörösével (pl arccos(1/3)) való - elforgatásokat, ''A''-t és ''B''-t. (A 2 dimenziós tér túl "szűk" ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.)Könnyen belátható, hogy ''A'' és ''B'' pont úgy vislekedik, mint ''a'' és ''b'', így az ''A'' és ''B'' által generált csoport izomorf <math>F_2</math>-vel. Az ''A'' és ''B'' forgatások által generált csoportot nevezzük '''H'''-nak. Természetesen így már '''H''' paradox felbontása is megvan.
 
'''3. lépés''' Az ''S''<sup>2</sup> egységgömbfelületet a következőképpen bontjuk fel '''H''' segítségével: Az egységgömb felületének két pontja akkor, és csak akkor tartozik ugyanazon részhez, ha '''H'''-nak pontosan egy olyan forgatása van, ami az elsőt a másodikba viszi. Most a [[kiválasztási axióma|kiválasztási axiómát]] alkalmazva ki tudunk minden részből választani pontosan egy pontot, ezen pontok halmaza legyen ''M''. így minden ''S''<sup>2</sup> beli pont pontosan egy féle képpen tudunk elérni '''H''' egy-egy forgatását alkalmazva ''M'' elemeire, és ezért '''H''' paradox felbontása "továbbadódott"„továbbadódott” ''S''<sup>2</sup>-nek.
 
'''4. lépés''' Végül, kössük össze ''S''<sup>2</sup> felületi pontjait az origóval, így ''S''<sup>2</sup>, azaz az egységgömb ''felülete'' helyett az ''egységgömb'' mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)