„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

A [[matematikai analízis]]ben '''Fermat tétele''' szükséges feltételt szab a [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvények lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvénynek az értelmezési tartomány belső pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha ott a [[derivált]] nulla.

 

 

A tétel rendkívül szemléletes, hiszen azt mondja, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén maximum illetve minimum csak ott lehet, ahol a függvény grafikonjához rajzolt érintő „vízszintes”. Személetünk alapját a polinomfüggvények és az [[valós analitikus függvény]]ek alkotják, melyek a történetileg kialakult függvényfogalmak legkorábbi típusai. ''Polinomfüggvény'' esetén, ha ''u''-ban lokális minimum van, akkor van ''u''-t megelőzően egy olyan intervallum, melyben ''f'' szigorúan monoton csökken, illetve ott a derivált negatív és ''u''-t követően egy olyan intervallum, ahol ''f'' szigorúan monoton nő, illetve ahol a derivált pozitív. Mivel ekkor a deriváltfüggvény is folytonos, ezért [[Bolzano-tétel|Bolzano tétele]] miatt ''u''-ban ''f ' ''-nak fel kell vennie a nulla értéket, nullának kell lennie. Valójában egy intervallumon értelmezett deriváltfüggvény mindig teljesíti a [[Darboux-tulajdonság]]ot, azaz definíció szerint igaz rá a Bolzano-tétel állítása, így ha olyan a függvény, hogy ''u'' előtt a derivált negatív, ''u''-t követően pedig pozitív, akkor ebből f '(u) = 0 kell hogy következzen. Nem kell azonban feltennünk még azt sem, hogy legyen ''u'' előtt és után olyan intervallum, ahol a derivált negatív illetve pozitív, ami szerencse is, hiszen vannak a modern függvényfogalomnak olyan esetei, amikor ez nem teljesül. A Fermat-tétel az előbb említetteknél jóval gyengébb, pusztán lokális megszorításokat tartalmazó feltételek mellett is igaz. A bizonyításban ekkor szerephez jutnak olyan elemek, melyek a függvény, a függvényhatárérték és a differenciálhatóság definíciójának kontraintuitív tartalmait képviselik, így lesz igaz a nem intuitív esetekben is az intuitív tétel.

 

Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' az értelmezési tartománya belső pontja. Ha ''u''-ban ''f''-nek lokális maximuma vagy lokális minimuma van, akkor ott deriváltja nulla:

:<math>f'(u)=0\,</math>

 

Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:

:<math>f(x)-f(u)\geq 0\,</math>

ahonnan f '(u) = 0 következik.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum|■]]</big></big></big>

 

 

A differenciálhatóságból következik, hogy létezik olyan c sztenderd valós szám, hogy tetszőleges ''h'' végtelenül kicsiny nemsztenderd számra:

, amiből – tekintve, hogy c sztenderd szám – a kívánt f '(u) = c = 0 egyenlőség következik. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum|■]]</big></big></big>

 

 

Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”.

''Bizonyítás.'' A tétel az egyváltozós tétel következménye, hiszen ha feltesszük a [[teljes differenciál|totális differenciálhatóságot]], akkor a parciális deriváltak is léteznek és a differenciál leképezés nem lesz más mint az a lineáris leképezés, amit a parciális deriváltakból álló sormátrix (''f'' Jacobi-mátrixa) meghatároz. Ha tehát szélsőértéke van u=(u₁,u₂)-ben ''f''-nek, akkor az f( . ,u₂) parciális függvénynek is szélsőértéke van u₁-ben és az f(u₁, . ) parciális függvényeknek is szélsőértéke van u₂-ben, tehát deriváltjaik az adott pontban nullák.

 

 

[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4450 A PlanetMath ''Fermat's Theorem (stationary points)'' szócikke]

[[sh:Fermaova teorema (analiza)]]

[[sr:Фермаова теорема (анализа)]]

[[uk:Теорема Ферма]]

[[zh:费马引理]]