„Borel–Lebesgue-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
a clean up, removed: <big> (6), </big> (6) AWB |
||
22. sor:
: <math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset</math>
Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''α''∈''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.
=== Bolzano–Weierstrass-tétellel ===
Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha Ω<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> ∈ ''K'' \ Ω<sub>1</sub>. Ha Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> ∈ ''K'' \ (Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' ∈ ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy Ω<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van Ω<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van.
Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).
== A tétel megfordítása ==
| |||