„Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Ré (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
a Ré szerkesztései visszaállítva Burumbátor utolsó változatára |
||
22. sor:
A "komprehenzív" kifejezés arra utal, hogy az axióma szándékozik "összegyűjteni" mindazon elemeket egy osztályba, melyre a P(x) formula tétel. A "korlátozott" szó pedig arra utal, hogy elemként íly módon csak halmazokat gyűjthetünk össze. Másrészt a "korlátozott" jelző arra is utal, hogy a P(x) formula tartalmazhat konkrét, akár valódi osztályokat is, de a (∀y) jelsor csak úgy szerepelhet benne tetszőleges y változó esetén, ha utána a Set(y) általános feltétel is szerepel benne a kvantor hatókörén belül. Ez a kissé bonyolult feltétel P(x)-re lényeges, mert ezen múlik, hogy '''NBG''' tényleg ekvikonzisztens '''ZFC'''-vel. Létezik a halmazelméletne egy olyan '''NBG''' stílusú felépítése, a [[Morse–Kelley-halmazelmélet]], melyben P(x)-re nincs a fenti megkötés. '''MK''' azonban valódi bővítése '''ZFC'''-nek és valójában a halmazelmélet egy másodrendű kalkulusával egyenértékű. Az axiómát gyakran még elkülönítési axiómának is nevezik.
Ebből az axiómából két, kardinális jelentősségű halmaz
:<math>\mathbf{Ru}:=\{x\mid x\notin x\}</math>
osztály, mely az alábbiak szerint valódi osztály. Tegyük fel, hogy '''Ru''' halmaz. Ekkor a komprehenzivitás axiómája szerint minden ''x''-re: ''x'' ∈ '''Ru''' ⇔ (Set(x) ∧ ¬(x ∈ x)). Ha most ''x'' helyére '''Ru'''-t helyettesítünk, akkor azt kapjuk, hogy '''Ru''' ∈ '''Ru''' ⇔ (Set('''Ru''') ∧ ¬( '''Ru''' ∈ '''Ru''')), amely csak úgy lehet, ha Set('''Ru''') nem teljesül, hiszen ellenkező esetben ellentmondásra jutunk. De azt tettük fel, hogy '''Ru''' halmaz, ami szintén ellentmondás, tehát '''Ru''' nem halmaz, hanem valódi osztály.
29. sor:
:<math>\emptyset:=\{x\mid x\neq x\}</math>
definiálta ''üres osztály''. Azt még nem lehet tudni, hogy ez halmaz-e, sőt azt sem, hogy léteznek-e egyáltalán halmazok, ezért a következő axióma ezt fogja biztosítani.
:'''A<small>
A később említendő részhalmaz axióma miatt ebből rögtön következik, hogy az üres osztály halmaz, mert az üres osztály minden osztálynak részosztálya. Megjegyezzük, hogy még a komprehenzivitási axióma nélkül sem kell feltennünk, hogy ''létezik'' osztály, hiszen a rendszer minden termje osztályt jelöl, így az osztályok, mint termek nyelvi értelemben léteznek. Gyakran az axiómát úgy fogalmazzák meg, hogy az üres osztály halmaz.
| |||