„Kontinuumhipotézis” változatai közötti eltérés

==A feladat és megoldása ==

 

:<math>|H|<|\mathcal{P}(H)|</math>

Tehát végtelen halmazból nem egyféle van, mert egy végtelen halmaz hatványhalmaza „végtelenebb”, vagy magasabb rendűen végtelen, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy nem feleltethető meg a két halmaz egymásnak úgy, hogy az egyik halmaz egy elemét a másik halmaz pontosan egy eleméhez rendeljük és fordítva. A legegyszerűbb végtelen halmaz a természetes számok '''N''' halmaza. Cantor azt is bebizonyította, hogy a valós számok '''R''' halmaza ennél magasabbrendűen végtelen (belátható ugyanis, hogy '''R'''-ben ugyanannyi elem van, mint ''P''('''N''')-ben, azaz '''N''' hatványhalmazában). Minthogy a végtelen halmazok jellegzetes (karakterisztikus) tulajdonsága, hogy azonos számosságú egy valódi részhalmazával, felvethető a kérdés, hogy '''R'''-ben saját magával és '''N'''-nel azonos számosságú részhalmazain kívül van-e más végtelen számosságú részhalmaz.