„Naiv halmazelmélet” változatai közötti eltérés

A [[halmazelmélet]] alapjait [[Georg Cantor]] rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a [[valós számok]] nem [[megszámlálhatóan végtelen]] voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, ... is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége "magasabbrendűen" (nem megszámlálható módon) végtelen mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen [[számosság]]ok elméletét. Az összességre a "menge" német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a [[halmaz]] szót használják matematikai szakkifejezésként. Eredményeit [[Richard Dedekind|Dedekind]], [[Gottlob Frege|Frege]] és [[Bertrand Russell|Russell]] is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a [[Russell-paradoxon]]) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor is felfedezett egy ellentmondást, ezt [[Cantor-paradoxon]] néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a [[típuselmélet]]ben), [[Zermelo]] és [[Fraenkel]] (a [[Zermelo-Fraenkel halmazelmélet]]ben) és az [[intuicionizmus|intuicionisták]] a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a [[Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet]] és a [[Bourbaki]]-halmazelmélet).

 

A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha <math>{T}</math> valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a <math>{T}</math> tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a <math>{T}</math> tulajdonság ''igazságtartományának'' nevezzük.

=== Jelölés ===