„Banach–Tarski-paradoxon” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Syp (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Syp (vitalap | szerkesztései) |
||
35. sor:
A bizonyítás négy lépésből áll:
# A két elemmel generált
# A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal [[izomorfizmus|izomorf]] csoportot generálnak.
# Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a [[kiválasztási axióma]] segítségével).
42. sor:
A bizonyítás lépései részletesen:
'''1. lépés''' Az ''a'' és ''b'' által generált [[szabad csoport]] álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az ''a'', ''a''<sup>
karakter <math>e</math> egységelemmel. Ezt a csoportot <math>F_2</math>-nek nevezzük.
[[Fájl:Paradoxical decomposition F2.svg|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>
<math>F_2</math>-t a következőképpen bontjuk „paradox módon” diszjunkt halmazokra:
''S''(''a'') legyen az ''a''-val kezdődő sztringek halmaza, és hasonló módon definiáljuk ''S''(''a''<sup>
:<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
58. sor:
:<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
A ''a'' ''S''(''a''<sup>
'''2. lépés''' A 3 dimenzióban a <math>F_2</math>-höz hasonlóan viselkedő (vele [[izomorf]]) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli – π irracionális többszörösével (pl. arccos(1/3)) való – elforgatásokat, ''A''-t és ''B''-t. (A 2 dimenziós tér túl „szűk” ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.) Könnyen belátható, hogy ''A'' és ''B'' pont úgy viselkedik, mint ''a'' és ''b'', így az ''A'' és ''B'' által generált csoport izomorf <math>F_2</math>-vel. Az ''A'' és ''B'' forgatások által generált csoportot nevezzük '''H'''-nak. Természetesen így már '''H''' paradox felbontása is megvan.
'''3. lépés''' Az ''S''<sup>2</sup> egységgömbfelületet a következőképpen bontjuk fel '''H''' segítségével: az egységgömb felületének két pontja akkor, és csak akkor tartozik ugyanazon részhez, ha '''H'''-nak pontosan egy olyan forgatása van, ami az elsőt a másodikba viszi. Most a [[kiválasztási axióma|kiválasztási axiómát]] alkalmazva ki tudunk minden részből választani pontosan egy pontot, ezen pontok halmaza legyen ''M''.
'''4. lépés''' Végül, kössük össze ''S''<sup>2</sup> felületi pontjait az origóval, így ''S''<sup>2</sup>, azaz az egységgömb ''felülete'' helyett az ''egységgömb'' mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)
[[NB]].:Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.
70. sor:
We now discuss each of these steps in more detail.
'''Step 1.''' The free group with two generators ''a'' and ''b'' consists of all finite strings that can be formed from the four symbols ''a'', ''a''<sup>
[[Fájl:Paradox felbontás F2.png|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>
The group <math>F_2</math> can be "paradoxically decomposed" as follows: let ''S''(''a'') be the set of all strings that start with ''a'' and define ''S''(''a''<sup>
:<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
84. sor:
:<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
(The notation ''a'' ''S''(''a''<sup>
'''Step 2.''' In order to find a group of rotations of 3D space that behaves just like (or "isomorphic to") the group <math>F_2</math>, we take two orthogonal axes and let ''A'' be a rotation of arccos(1/3) about the first and ''B'' be a rotation of arccos(1/3) about the second. (This step cannot be performed in two dimensions.) It is somewhat messy but not too difficult to show that these two rotations behave just like the elements ''a'' and ''b'' in our group <math>F_2</math>. We'll skip it. The new group of rotations generated by ''A'' and ''B'' will be called '''H'''. Of course, we now also have a paradoxical decomposition of '''H'''.
|