„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
[[Kép:riemann.gif|bélyegkép|jobbra|Normális felosztássorozat első tagjai]]
 
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ''Riemann-integrálható'' az [''a'',''b''] intervallumon, és a határértékét a függvény ''Riemann-integrál''jának nevezzük. Jele: <math>\int_aint \limits _a^b f(x) \, dx</math> vagy röviden: <math> \int_aint \limits _a^b f</math>.
 
:<math>d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int_aint \limits _a^b f</math>
 
Összefoglalva:
 
:<math>\int_int \limits _{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})</math>
 
:ahol
Hasonló a '' (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math> s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, </math> ahol <math> m_i </math> az függvény alsó határa (infimuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
 
Amennyiben létezik az <math>\int_aint \limits _a^b f</math> integrál, akkor <math>s_n \le \int_aint \limits _a^b f \le S_n</math>. Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”.
 
=== A primitív függvény fogalma és a [[Newton–Leibniz-tétel|Newton-Leibniz-formula]]===
Az ''f(x)'' legyen a ''sin x'' függvény. Ennek egyik primitív függvénye a ''-cos x'' függvény, hiszen ''(-cos x)' = sin x'', de a ''-cos x +5'' függvény is primitív függvény. Általánosan fogalmazva egy függvény pontosan akkor primitív függvénye a ''sin x'' függvénynek, ha felírható ''-cos x +C'' alakban, ahol ''C'' valós szám.
 
Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható: <br> Newton–Leibniz-formula: <math> \int_aint \limits _a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b </math>, ahol az ''F'' függvény az ''f'' függvény egyik primitív függvénye, a <math> \Big[ F(x) \Big]_a^b </math> pedig egy új jelölés az '' F(b)-F(a)'' kifejezésre.
 
<center><math> \int_int \limits _{\pi}^{\frac{3\pi}2} \sin x \,\mathrm{d}x = \Big[ -\cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}= -\cos \frac{3\pi}2 - (-\cos \pi ) = 0 - 1 = -1</math></center>
 
A szinuszfüggvényt felrajzolva, a kapott eredmény előjele nem meglepő, hiszen a kérdéses intervallumon a függvényérték végig negatív.