„Folytonos függvény” változatai közötti eltérés

Legyen ''f'' a valós számok egy ''A'' részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen ''xu'' ∈ ''A''. Az, hogy az ''f'' függvény az ''u'' pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

''u'' torlódási pontja ''A''-nak, ha bármely pozitív ε -rahoz létezik ''A''-nak olyan ''u''-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága ''u''-tól kisebb, mint ε. ''A''-nak izolált pontja ''vu'', ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme aaz (''vu''-ε , ''vu''+ε) nyílt intervallumban, csak ''vu''.

Az ''f'' valós számok halmazának egy ''A'' részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az ''xu'' ∈ ''A'' pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, ''u''-hoz konvergáló (''x''_''n'') sorozat esetén a függvényértékek (''f''(''x''_''n'')) sorozata is konvergens és az ''f''(''u'') számhoz tart, azaz

:<math>\forall (x_n):\mathbb{N}\to A\quad (\;\lim\limits_{n\to \infty} x_n=u \;\Rightarrow \;\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=f(u))</math>